La distanza di un punto da una retta

Data una retta $r$ di equazione implicita $ax+by+c=0$ ed un punto $P(x_0,y_0)$, è nota la formula della distanza di $P$ da $r$: $$ d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\ .$$Non so quale sia il modo più semplice per dimostrarla, in ogni caso, sviluppando un’intuizione dell’amico Giacomo, ho provato a ricavarla utilizzando il calcolo vettoriale. L’equazione di $r$ può essere riscritta utilizzando il prodotto scalare come $(x,y)\boldsymbol\cdot(a,b)=-c\ .$
Dati due punti arbitrari $D(x_D,y_D)$ ed $E(x_E,y_E)$ appartenenti alla retta si ha $$\begin{array}{rcl} (x_E,y_E)\boldsymbol\cdot (a,b) & = & -c \\ (x_D,y_D)\boldsymbol\cdot (a,b) & = & -c \\ (x_E-x_D,y_E-y_D) \boldsymbol\cdot (a,b) & = & 0 \end{array}$$dove l’ultima uguaglianza è stata ottenuta sottraendo membro a membro la seconda uguaglianza dalla prima. Si ha dunque $\overrightarrow{DE}\boldsymbol\cdot(a,b)=0$, ovvero $\overrightarrow{DE} \perp (a,b)$. Il vettore $(a,b)$ è dunque perpendicolare alla retta.
Tracciamo ora da $P$ la perpendicolare alla retta, e ne sia $H$ il piede. Si ha chiaramente $\overrightarrow{PH}=\lambda(a,b)$ e si ha inoltre $$\begin{array}{lcr} (x_0,y_0)\boldsymbol\cdot(a,b) & = & ax_0+by_0 \\ (x_H,y_H)\boldsymbol\cdot(a,b) & = & -c \\  (x_0-x_H,y_0-y_H)\boldsymbol\cdot(a,b) & = & ax_0+bx_0+c \end{array} $$dove la seconda identità discende dalla appartenenza di $H$ a $r$ e la terza identità è stata ottenuta sottraendo membro a membro la seconda identità dalla prima. Si ha quindi $\overrightarrow{HP}\boldsymbol\cdot(a,b)=ax_0+by_0+c$, e poiché $\overrightarrow{HP}$ e $(a,b)$ sono paralleli o antiparalleli si ha $$\overrightarrow{HP}\boldsymbol\cdot(a,b)=\pm \left\| \overrightarrow{HP}\right\| \cdot \left\|(a,b)\right\| =\pm d(P,r)\cdot\sqrt{a^2+b^2} \\ \Updownarrow \\ d(P,r)\cdot\sqrt{a^2+b^2} = \left| \overrightarrow{HP}\boldsymbol\cdot(a,b) \right|=\left| ax_0+by_0+c \right|$$da cui discende immediatamente la formula in questione.
Il ragionamento può essere facilmente esteso alla distanza di un punto da un piano nello spazio, o da un iperpiano $\mathcal H$ di dimensione $n-1$ di equazione $a_0+a_1 x_1+\ldots+a_n x_n=0$ immerso in uno spazio di dimensione $n$ e si avrà $$ d(P,\mathcal H) =\frac{\left|a_0+a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+\ldots+{a_n}^2}} \ .$$