Il teorema di Frégier

Data una conica $\mathcal C$ ed un punto $P$ che le appartiene, tutte le corde di $\mathcal C$ viste da $P$ sotto un angolo retto si incon­trano in un unico punto $F$, detto punto di Frégier associato a $P$. Se $\mathcal C$ è un’iperbole vanno considerati anche i prolungamenti delle corde.

Possiamo dimostrare questo teorema attraverso la geometria analitica. Scegliamo un sistema di coordinate in cui il punto $P$ coincida con l’origine degli assi e la tangente in $P$ alla conica $\mathcal C$ sia orizzontale.

L’equazione di una conica può essere scritta in generale nella forma$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F=0.\tag{1}$$Poiché $\mathcal C$ passa per l’origine deve essere $F=0$. Derivando rispetto a $x$ l’equazione in $(1)$ otteniamo$$2Ax + B(y + xy') + 2Cy+ D + Ey'=0$$ e imponendo che per $x=y=0$ si abbia $y'=0$ otteniamo $D=0$. Deve aversi $E\neq0$ affinché la conica $\mathcal C$ non sia degenere.

Consideriamo ora due rette $r_1$ e $r_2$ perpendicolari passanti per $P(0{,}0)$: esse avranno equazione $r_1:y=mx$ e $r_2:y=-x/m$. Per trovare le intersezioni di $r_1$ con $\mathcal C$ poniamo $y=mx$ nell’equazione in $(1)$ ed otteniamo $$(A+Bm+Cm^2)x^2+Emx=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ x=x_1=-\dfrac{Em}{A+Bm+Cm^2} \end{array} \right.$$ed ovviamente si ha $y_1=mx_1$. Analogamente l’intersezione non coincidente con $P$ di $r_2$ con $\mathcal C$ avrà coordinate $$x_2=\dfrac{E/m}{A-B/m+C/m^2}=\dfrac{Em}{Am^2-Bm+C}$$ con $y_2=-x_2/m$.

Consideriamo ora la retta $s$ passante per $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$: essa avrà equazione $$s: \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\ .$$Cerchiamone l’intersezione con l’asse delle ordinate ponendo $x=0$: si avrà $$\require{cancel} y=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(-x_1)=\frac{x_2 y_1- \cancel{x_1 y_1} - x_1 y_2 +\cancel{x_1 y_1}}{x_2-x_1}= \\ =\frac{mx_1x_2+x_1x_2/m}{x_2-x_1}=\frac{(m+1/m)x_1x_2}{x_2-x_1}=\frac{m+1/m}{1/x_1-1/x_2}= \\ = \frac{m+1/m}{-\frac{A+Bm+Cm^2}{Em}-\frac{Am^2-Bm+C}{Em}} = \frac{m+1/m}{-\frac{A}{E}(1/m+m)-\frac{C}{E}(m+1/m)} =  \\ = - \frac{\cancel{m+1/m}}{\cancel{(m+1/m)}(A+C)/E}=-\frac{E}{A+C}\ .\tag{2}$$Come si vede, una qualsiasi corda vista sotto un angolo retto da $P$ interseca (o è il suo prolungamento a farlo) l’asse delle ordinate in un punto le cui coordinate non dipendono da $m$, e quindi tale punto è comune a tutte le corde viste sotto un angolo retto da $P$, ed è il punto di Frégier associato a $P$.

Ma… che succede se $A+C=0$? l’espressione in $(2)$ perde di significato. In effetti, se $A+C=0$ la conica è una iperbole equilatera, e le corde viste sotto un angolo retto da un punto $P$ appartenente a $\mathcal C$ sono tutte perpendicolari alla tangente in $P$ e parallele fra loro ed i punti di Frégier, se ampliamo il piano con la retta all’infinito, sono punti all’infinito.

L’insieme dei punti di Frégier associati ai punti di una conica è:

• nel caso della circonferenza, il centro della circonferenza;
• nel caso dell’ellisse e dell’iperbole, una conica con lo stesso centro e omotetica (ovvero simile) alla conica stessa;
• nel caso di una parabola, la stessa parabola traslata.

Ellisse (azzurro) e i suoi punti di Frégier (arancione).

Iperbole (azzurro) e i suoi punti di Frégier (arancione).

Parabola (azzurro) e i suoi punti di Frégier (arancione).

Riguardo a Monsieur Frégier, scopritore ed eponimo del teorema, non ho trovato quasi nulla in rete, neppure il nome di battesimo. Il suo teorema fu pubblicato negli Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 6 (1815-1816), alle pagine 229-241 – potete trovare il suo articolo qui – e ci viene detto che era stato allievo della École polytechnique. Da wikipedia apprendiamo che fu professore di matematica all’Università di Troyes.