Data una conica $\mathcal C$ ed un punto $P$ che le appartiene, tutte le corde di $\mathcal C$ viste da $P$ sotto un angolo retto si incontrano in un unico punto $F$, detto punto di Frégier associato a $P$. Se $\mathcal C$ è un’iperbole vanno considerati anche i prolungamenti delle corde.
Possiamo dimostrare questo teorema attraverso la geometria analitica. Scegliamo un sistema di coordinate in cui il punto $P$ coincida con l’origine degli assi e la tangente in $P$ alla conica $\mathcal C$ sia orizzontale.
L’equazione di una conica può essere scritta in generale nella forma$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F=0.\tag{1}$$Poiché $\mathcal C$ passa per l’origine deve essere $F=0$. Derivando rispetto a $x$ l’equazione in $(1)$ otteniamo$$2Ax + B(y + xy') + 2Cy+ D + Ey'=0$$ e imponendo che per $x=y=0$ si abbia $y'=0$ otteniamo $D=0$. Deve aversi $E\neq0$ affinché la conica $\mathcal C$ non sia degenere.
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