La costante plastica (feat. rapporto aureo)

Prendendo come spunto la successione di Fibonacci ($1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8,\ldots$) dove ogni termine è la somma dei due precedenti e i primi due termini sono $1$ e $1$ (oppure $0$ e $1$), possiamo realizzare delle interessanti “varianti”. Ad esempio:

1. Cambiare i primi due termini della successione mantenendo la regola generale. Il caso più noto è quello della successione di Lucas (da Édouard Lucas, si pronuncia /ly'ka/) dove i primi due termini sono $2$ e $1$, ed otteniamo la successione $2$, $1$, $3$, $4$, $7$, $11,\ldots$
2. Cambiare la regola, stabilendo che ogni termine sia la somma degli ultimi tre termini della successione, prendendo come primi termini $0$, $0$ e $1$. Si ottiene la cosiddetta successione di Tribonacci che, a partire dal primo termine non nullo, è data da: $1$, $1$, $2$, $4$, $7$, $13,\ldots$
3. Cambiare la regola, stabilendo che ogni termine sia la somma degli ultimi quattro termini della successione, prendendo come primi termini $0$, $0$, $0$ e $1$. Si ottiene la cosiddetta successione di Tetranacci che, a partire dal primo termine non nullo, è data da: $1$, $1$, $2$, $4$, $8$, $15,\ldots$ Ovviamente possiamo andare avanti all’infinito definendo successioni di Pentanacci, Esanacci, Eptanacci, eccetera.

La variante che esamineremo ora invece effettua il seguente cambiamento di regola: ogni termine è la somma del penultimo e del terzultimo termine precedente, e i primi tre termini sono $1$, $1$ e $1$.

In formule, laddove la successione di Fibonacci è definita da $$F_0=0,\ F_1=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\ $$la successione che consideriamo, detta successione di Padovan (si dovrebbe pronunciare /'pædəvən/ similmente all’italiano “pàdovan” in quanto, pur essendo il cognome italianissimo, l’eponimo è il britannico Richard Padovan) è definita da$$P_0=P_1=P_2=1,\ P_n=P_{n-2}+P_{n-3}$$che è formata dai termini $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $3$, $4$, $5$, $7$, $9$, $12$, $16$, $21$, $28$, $37$, $49$, $65\ldots$ (vi è anche la convenzione di prendere come primi termini $1$, $0$ e $0$).

Nota a margine: anche per questa successione vale la legge dell’eponimia di Stigler: Padovan stesso attribuì questa successione non a se stesso ma al monaco e architetto olandese dom Hans van der Laan (1904-1991). 

Si ha inoltre $$P_n=P_{n-2}+P_{n-3}=(P_{n-4}+P_{n-5})+P_{n-3}=(P_{n-3}+P_{n-4})+P_{n-5}=P_{n-1}+P_{n-5}$$e quest’ultima relazione diventa visibile graficamente in una figura che esamineremo in seguito. Inoltre possiamo riscrivere la relazione $P_n=P_{n-2}+P_{n-3}$ come $P_{n-3}=P_n-P_{n-2}$ ovvero, ponendo $n=k+3$, $P_k=P_{k+3}-P_{k+1}$ da cui possiamo ricavare gli elementi della successione con indice negativo, che sono (con indice che decresce a partire da $-1$): $0$, $1$, $0$, $0$, $1$, $-1$, $1$, $0$, $-1$, $2\ldots$ L’andamento dei $P_n$ è visibile in figura $1$.

Com’è noto, con quadrati che hanno per lunghezze dei lati i numeri di Fibonacci possiamo costruire una “spirale di quadrati” e una spirale simil-logaritmica data dall’unione di archi di circonferenza inscritti nei quadrati (vedi figura $2$).

Con i numeri di Padovan possiamo fare qualcosa di analogo:

1. In due dimensioni con i triangoli (vedi figura $4$). In figura $4$ si evidenzia la relazione $P_n=P_{n-1}+P_{n-5}$, ad esempio $3=2+1$, $12=9+3$, $28=21+7$, eccetera.
2. In tre dimensioni con parallelepipedi, come si può vedere in figura $5\frac12$ e potete visualizzare interattivamente qui. (ho inserito la figura successivamente alla prima stesura e per non cambiare tutti i numeri ho fatto ricorso ad un ordinale frazionario ;-)

Come avviene per i numeri di Fibonacci, anche i numeri di Padovan possono essere ottenuti dalle potenze di una matrice:$$\mathbf M_P=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array}\right),\  \ \mathbf M_P^n=\left(\begin{array}{ccc} P_{n-5} & P_{n-3} & P_{n-4} \\P_{n-4} & P_{n-2} & P_{n-3} \\ P_{n-3} & P_{n-1} & P_{n-2} \end{array}\right)\tag{1}$$come si può facilmente provare per induzione, infatti si ha$$\mathbf M_P^0=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} P_{-5} & P_{-3} & P_{-4} \\ P_{-4} & P_{-2} & P_{-3} \\ P_{-3} & P_{-1} & P_{-2} \\ \end{array}\right)\ , \\[20pt] \mathbf M_P^1=\mathbf M_P=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} P_{-4} & P_{-2} & P_{-3} \\ P_{-3} & P_{-1} & P_{-2} \\ P_{-2} & P_{0} & P_{-1} \\ \end{array}\right)$$e supponendo che la seconda uguaglianza in $(1)$ valga per $n=0,1,\ldots,k$ si ha $$\mathbf M_P^{k+1}=\mathbf M_P\cdot \mathbf M_P^k=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} P_{k-5} & P_{k-3} & P_{k-4} \\P_{k-4} & P_{k-2} & P_{k-3} \\ P_{k-3} & P_{k-1} & P_{k-2} \end{array}\right)=\\[20pt]=\left(\begin{array}{ccc} P_{k-4} & P_{k-2} & P_{k-3} \\P_{k-3} & P_{k-1} & P_{k-2} \\ P_{k-5}+P_{k-4} & P_{k-3}+P_{k-2} & P_{k-4}+P_{k-3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} P_{k-4} & P_{k-2} & P_{k-3} \\P_{k-3} & P_{k-1} & P_{k-2} \\ P_{k-2} & P_{k} & P_{k-1} \end{array}\right)$$e quindi la seconda identità in $(1)$ è valida per ogni $n\in\mathbb N$.

Sia i numeri di Fibonacci che i numeri di Padovan possono essere ottenuti come somme di numeri disposti in linea retta nel triangolo di Tartaglia (vedi figura $6\frac12$).

I numeri di Fibonacci $F_n$ sono strettamente legati al rapporto aureo $\varphi$ in quanto $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \dfrac{F_{n+1}}{F_n} = \dfrac{\sqrt5+1}2=\varphi$.

Per quanto riguarda i numeri di Padovan $P_n$ si ha $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \dfrac{P_{n+1}}{P_n}=\rho$ dove $\rho$ è detta costante plastica o numero plastico, dove l’aggettivo “plastico” non si riferisce alla plastica nel senso del materiale: dom Hans van der Laan nel 1928 definì questo numero “het plastische getal” dove l’aggettivo “plastische” vuole indicare qualcosa legato ad una forma tridimensionale, così come in italiano si parla di “arti plastiche”. Quattro anni prima, nel 1924, il giovane francese Gérard Cordonnier (1907-1977), futuro matematico, aveva definito questo numero “le nombre radiant”, “il numero radiante” ma quest’ultima dicitura ha avuto meno successo ed è utilizzata quasi unicamente in Francia. La convergenza di $\dfrac{P_{n+1}}{P_n}$ a $\rho$ è mostrata graficamente nelle figure $7$ e $8$.

Nel caso della successione di Fibonacci, una volta dimostrato che esiste il limite del rapporto fra un termine e quello precedente, si ottiene $$\varphi=\lim_{n\to\infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_{n}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{F_{n}+F_{n-1}}{F_{n}}=1+\dfrac1\varphi$$da cui si ricava $\varphi^2 =\varphi+1$.

Per quanto riguarda la successione di Padovan, supponendo che esista il limite del rapporto fra un termine e quello precedente (lo dimostreremo rigorosamente in seguito), si ottiene $$\rho = \lim_{n\to\infty} \dfrac{P_{n+1}}{P_{n}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{P_{n-1}+P_{n-2}}{P_{n}}=\dfrac1\rho+\dfrac1{\rho^2}$$da cui ricaviamo $\rho^3=\rho+1$, ovvero $\rho$ deve soddisfare l’equazione di terzo grado $x^3-x-1=0$.

Le equazioni di terzo grado costituiscono un argomento negletto nella didattica della matematica, forse anche perché in genere l’espressione risolutiva è complicata, e può capitare che vi sia una soluzione semplice ma che il procedimento risolutivo arrivi ad esprimerla come somma irriconoscibile di ingombranti radici cubiche, per non parlare dell’utilizzo dei numeri complessi che può rendersi necessario anche in caso di soluzioni reali. Però è un argomento che presenta spunti interessanti e pertanto andiamo a risolvere passo per passo l’equazione soddisfatta da $\rho$.

Poniamo $x=u+v$ e otteniamo$$(u+v)^3-(u+v)-1=0 \Rightarrow u^3+v^3+3uv(u+v)-(u+v)-1=0 \Rightarrow \\ (u^3+v^3-1)+(u+v)(3uv-1)=0$$ che è verificata se $u$ e $v$ soddisfano il sistema$$\left\{\begin{array}{l} u^3+v^3=1 \\ 3uv=1 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} u^3+v^3=1 \\ u^3v^3=\dfrac1{27} \end{array}\right.\ .$$Poiché di $u^3$ e $v^3$ conosciamo somma e prodotto, possiamo determinarli risolvendo la classica equazione di secondo grado $x^2-sx+p=0$ associata al problema di trovare due numeri di cui siano noti la somma $s$ ed il prodotto $p$, ed otteniamo$$u^3,v^3=\dfrac{1\pm\sqrt{1^2-4\cdot\frac1{27}}}{2}=\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt{\frac{23}{27}}}2=\dfrac{9\pm\sqrt{69}}{18}$$ e ponendo $$u_0=\sqrt[3]{\dfrac{9+\sqrt{69}}{18}},\ v_0=\sqrt[3]{\dfrac{9-\sqrt{69}}{18}}$$ otteniamo la soluzione $\rho=u_0+v_0=1{,}3247179572447\ldots$

Le altre due soluzioni, complesse coniugate, sono date da $$z_{1,2}=u_0e^{\pm2\pi i/3} + v_0 e^{\mp2 \pi i/3} =-\dfrac12(u_0+v_0)\pm i\,\dfrac{\sqrt3}2(u_0-v_0)\simeq-0{,}66236 \pm0{,}56228 \,i\ .$$Nelle figure $9$ e $10$ sono raffigurate le soluzioni insieme ad alcune peculiarità che riguardano le equazioni di terzo grado.

Il rapporto aureo può essere espresso come radicale continuo: $$\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1+ \sqrt{1 +\ldots\ }\ }\ }\ ,$$ed altrettanto la costante plastica:$$\rho = \sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\ldots\ }\ }\ }\quad .$$

Il rapporto aureo $\varphi$ soddisfa le identità $\varphi+1=\varphi^2$ e $\varphi-1=\varphi^{-1}$, d’altronde si ha $$\rho^3=\rho+1 \Rightarrow \rho^5=\rho^3+\rho^2= (\rho+1) +\rho^2 = 1 + \rho (\rho+1) =1+\rho\cdot\rho^3=1+\rho^4\Rightarrow \\ \Rightarrow \rho^5-\rho^4=1\Rightarrow \rho^4(\rho-1)=1\ ,$$e dunque oltre ad essere $\rho+1=\rho^3$ si ha $\rho-1=\rho^{-4}$.

Risulta che $\varphi$ e $\rho$ sono gli unici “numeri morfici”, ovvero gli unici numeri reali che soddisfino entrambe le identità $x+1=x^m$ e $x-1=x^{-n}$ con $m$ e $n$ numeri naturali, come è stato dimostrato nel 2001 in questo articolo.

Nel caso della successione di Fibonacci, indicando con $\varphi$ e $\psi$ le soluzioni dell’equazione $x^2=x+1$, associata alla relazione di ricorrenza $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$, si dimostra facilmente che ogni successione $a_n$ con la stessa regola di ricorrenza può essere espressa come combinazione lineare di $\varphi^n$ e $\psi^n$, e in particolare, come visto qui, si ha $F_n=\dfrac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi}$, mentre per i termini della successione di Lucas si ha $L_n=\varphi^n+\psi^n$. Per la successione di Fibonacci vale inoltre $F_n=\left[\dfrac{\varphi^n}{\varphi-\psi}\right]$ per $n \in \mathbb N$, dove $[x]=\lfloor x+1/2\rfloor$ indica l’intero più vicino a $x$.

Per quanto riguarda la successione di Padovan, usando la notazione $r_0=\rho$, $r_1=z_1$, $r_2=z_2$ per le soluzioni dell’equazione $x^3=x+1$, associata alla relazione di ricorrenza $P_n=P_{n-2}+P_{n-3}$, si ha analogamente che ogni successione $a_n$ con la stessa regola di ricorrenza può essere espressa come combinazione lineare di $r_0^n$, $r_1^n$ e $r_2^n$, e in particolare si ha$$P_n=\dfrac{(r_1-1)(r_2-1)}{(r_1-r_0)(r_2-r_0)}r_0^n+\dfrac{(r_2-1)(r_0-1)}{(r_2-r_1)(r_0-r_1)}r_1^n+\dfrac{(r_0-1)(r_1-1)}{(r_0-r_2)(r_1-r_2)}r_2^n\ ,\tag{2}$$infatti si può verificare algebricamente che, indipendentemente dai valori di $r_0$, $r_1$ e $r_2$, si ha $P_0=P_1=P_2=1$.

Inoltre, elaborando il coefficiente di $r_0^n$ utilizzando le formule di Viète che, nel nostro caso, forniscono le identità $r_0r_1r_2=1$ e $r_0+r_1+r_2=0$, otteniamo$$\dfrac{(r_1-1)(r_2-1)}{(r_1-r_0)(r_2-r_0)}=\dfrac{r_1r_2-(r_1+r_2)+1}{r_1r_2-r_0(r_1+r_2)+r_0^2}=\dfrac{1/\rho+\rho+1}{1/\rho+\rho^2+\rho^2}=\\[20pt] = \dfrac{1+\rho^2+\rho}{1+2\rho^3}=\dfrac{\rho^3+\rho^2}{1+2(\rho+1)}= \dfrac{\rho^2(\rho+1)}{2\rho+3}=\dfrac{\rho^5}{2\rho+3}\simeq0{,}722\ .$$

Essendo $|r_1|=|r_2|$ e $r_0 r_1 r_2=1$ si ha $|r_1|=|r_2|=r_0^{-1/2}=\rho^{-1/2}<1$, e quindi nel secondo membro della $(2)$ i termini in $r_1^n$ e $r_2^n$ tendono a $0$ per $n$ che tende ad infinito e, in effetti, per il calcolo dei numeri di Padovan possiamo trascurarli per indici non negativi ed utilizzare la formula $P_n=\left[\dfrac{\rho^5}{2\rho+3}\rho^n\right]$ per $n\in \mathbb N$, inoltre dal fatto che i termini in $r_1^n$ e $r_2^n$ tendano a $0$ per $n$ che tende ad infinito è immediato dimostrare rigorosamente che $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \dfrac{P_{n+1}}{P_n}=\rho$.

L’espressione $r_0^n+r_1^n+r_2^n$ restituisce invece la successione dei numeri di Perrin, con la stessa ricorrenza della successione di Padovan, ma avente come primi elementi $3$, $0$ e $2$.

Così come le potenze del rapporto aureo sono esprimibili attraverso i numeri di Fibonacci, analogamente le potenze della costante plastica sono esprimibili attraverso i numeri di Padovan:$$\varphi^n=\varphi F_n+F_{n-1},\quad \rho^n=\rho^2 P_{n-4}+\rho P_{n-3}+P_{n-5}\ .$$Così come il rettangolo aureo, di lati in proporzione $1:\varphi$ può essere suddiviso ricorsivamente in quadrati (vedi figura $3$), così il pentagono plastico, di lati in proporzione $1: \varphi: \varphi^2: \varphi^3: \varphi^4$ può essere suddiviso ricorsivamente in triangoli equilateri (vedi figura $5$).

Se a un rettangolo aureo viene tolto un quadrato otteniamo un rettangolo aureo, e analogamente se a un parallelepipedo plastico, di spigoli in proporzione $1: \varphi: \varphi^2$, viene tolto un parallelepipedo a base quadrata, otteniamo un altro parallelepipedo plastico (vedi figura $6$).

Analogamente a quanto avviene per i numeri di Fibonacci, anche per i numeri di Padovan esistono diverse identità notevoli, se ne possono trovare alcune qui.

Un’altra caratteristica condivisa dalla costante plastica e dal rapporto aureo è l’essere entrambi numeri di Pisot (anche qui vale la legge dell’eponimia di Stigler: furono scoperti nel 1912 dal matematico norvegese Axel Thue e lo studio fu approfondito in seguito dai matematici Godfrey Hardy, Tirukkannapuram Vijayaraghavan, Charles Pisot e Raphaël Salem). Un numero di Pisot ha la caratteristica di essere un intero algebrico, ovvero è radice di un polinomio del tipo $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ con $a_k \in \mathbb Z$ (detto polinomio monico), inoltre è reale e maggiore di $1$ e il polinomio monico di minimo grado di cui è radice ha le altre radici, reali o complesse che siano, di modulo minore di $1$. Poiché la somma delle potenze con esponente naturale delle radici di un polinomio monico è sempre un numero intero, come si può facilmente dimostrare utilizzando le identità di Newton-Girard, e le potenze delle altre radici del polinomio monico tendono a $0$, ne consegue che le potenze di un numero di Pisot si avvicinano sempre di più all’intero più vicino all’aumentare dell’esponente, ovvero se $\lambda$ è un numero di Pisot si ha $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}|\lambda^n-[\lambda^n]|=0$.

Il rapporto aureo $\varphi$ è un numero di Pisot essendo radice di $x^2-x-1$ ed avendosi $\varphi>1$ e $|\psi|=1/\varphi<1$, inoltre è il più piccolo punto di accumulazione di numeri di Pisot.

La costante plastica $\rho$ è un numero di Pisot essendo radice di $x^3-x-1$ ed avendosi $\rho>1$ e $|z_{1,2}|<1$, inoltre è il più piccolo numero di Pisot.

Come si vede nelle figure $11$ e $12$, l’avvicinamento al numero intero più vicino è piuttosto “regolare” per il rapporto aureo e un po’ più “altalenante” (e più lento) per la costante plastica.

In un rettangolo plastico, ovvero con i lati in proporzione $1:\varphi$ possiamo inserire una spirale di quadrati (vedi figura $13$), inoltre un rettangolo plastico può essere suddiviso in due rettangoli plastici ed un quadrato (vedi figura $14$).

Una ellisse plastica, ovvero una ellisse con i semiassi in proporzione $1:\varphi$ ha eccentricità $\epsilon=\varphi^{-3/2}$ e possiede una singolare proprietà descritta nella figura $15$.

Vi sono esattamente tre modi di suddividere un quadrato in tre rettangoli simili fra loro, e l’unico che comporta tre rettangoli fra loro non congruenti lo suddivide in rettangoli “superplastici” con i lati in proporzione $1:\varphi^2$ (vedi figura $16$).

E per ora, direi, è tutto gente!

Figura $1$. Andamento dei numeri di Padovan.

Figura $2$. Spirale di quadrati con lati di lunghezze pari ai numeri di Fibonacci. Al limite il rettangolo più grande tende ad avere i lati in proporzione aurea $1:\varphi$.

Figura $3$. Rettangolo aureo suddiviso ricorsivamente in quadrati.

Figura $4$. Spirale di triangoli equilateri con lati di lunghezze pari ai numeri di Padovan.

Figura $5$. Pentagono plastico suddiviso ricorsivamente in triangoli equilateri.

Figura $5\frac12$. Spirale di parallelepipedi con spigoli di lunghezze pari ai numeri di Padovan. Al limite il parallelepipedo più grande tende ad avere gli spigoli in proporzioni plastiche $1:\rho:\rho^2$. Le lunghezze dei tratti della spirale sono proporzionali ai numeri di Padovan.

Figura $6$. Rettangolo aureo e parallelepipedo plastico.

Figura $6\frac12$. Numeri di Fibonacci e numeri di Padovan come somme di elementi del triangolo di Tartaglia.

Figura $7$. Rapporto $P_{n+1}/P_n$ per $n$ da $0$ a $20$.

Figura $8$. Valori di $\sqrt[7]{P_{n+1}/P_n-\rho}$ per $n$ da $0$ a $100$. Della differenza fra $P_{n+1}/P_n$ e il valore limite è stata presa la radice settima per rendere maggiormente visibile lo scostamento da $0$.

Figura $9$. Grafico della curva $y=x^3-x-1$. Il punto $P$ ha coordinate $(\rho,0)$. Se da P conduciamo la retta $t$, tangente alla curva, l’ascissa del punto di tangenza corrisponde alla parte reale di $z_1$ e $z_2$, zeri complessi del trinomio $x^3-x-1$. La retta $s$, passante per $P$ ed avente coefficiente angolare doppio rispetto a quello di $r$, incontra la curva in due punti le cui ascisse differiscono da quella del punto di tangenza di due quantità opposte che corrispondono alle parti immaginarie di $z_1$ e $z_2$.

Figura $10$. Gli zeri della derivata del trinomio di terzo grado $x^3-x-1$ corrispondono ai fuochi della inellisse di Steiner, l’unica ellisse tangente al triangolo $Pz_1z_2$ nei suoi punti medi. Il centro dell’ellisse coincide con il baricentro del triangolo.

Figura $11$. Andamento di $\log_{10}\left(|\varphi^n-[\varphi^n]\right)$.

Figura $12$. Andamento di $\log_{10}\left(|\rho^n-[\rho^n]\right)$.

Figura $13$. Spirale di quadrati inserita in un rettangolo plastico.

Figura $14$. Rettangolo plastico suddiviso in due rettangoli plastici ed un quadrato. Suddividendo ulteriormente ed inserendo degli archi di circonferenza si può costruire una curva frattale (vedi qui).

Figura $15$. Il cerchio unitario è inscritto in una ellisse plastica a sua volta inscritta in un’altra ellisse plastica. L’area della regione arancione compresa fra le due ellissi è $\pi\rho^3-\pi\rho=\pi$ e quindi è uguale all’area del cerchio unitario.

Figura $16$. I tre modi di ripartire un quadrato in tre rettangoli simili fra loro.

Figura $17$. Interno della chiesa dell’abbazia di St. Benedictusberg. La chiesa, progettata da dom Hans van der Laan ed edificata nel 1967, ha proporzioni legate alla costante plastica.