Prendendo come spunto la successione di Fibonacci ($1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8,\ldots$) dove ogni termine è la somma dei due precedenti e i primi due termini sono $1$ e $1$ (oppure $0$ e $1$), possiamo realizzare delle interessanti “varianti”. Ad esempio:
- Cambiare i primi due termini della successione mantenendo la regola generale. Il caso più noto è quello della successione di Lucas (da Édouard Lucas, si pronuncia /ly'ka/) dove i primi due termini sono $2$ e $1$, ed otteniamo la successione $2$, $1$, $3$, $4$, $7$, $11,\ldots$
- Cambiare la regola, stabilendo che ogni termine sia la somma degli ultimi tre termini della successione, prendendo come primi termini $0$, $0$ e $1$. Si ottiene la cosiddetta successione di Tribonacci che, a partire dal primo termine non nullo, è data da: $1$, $1$, $2$, $4$, $7$, $13,\ldots$
- Cambiare la regola, stabilendo che ogni termine sia la somma degli ultimi quattro termini della successione, prendendo come primi termini $0$, $0$, $0$ e $1$. Si ottiene la cosiddetta successione di Tetranacci che, a partire dal primo termine non nullo, è data da: $1$, $1$, $2$, $4$, $8$, $15,\ldots$ Ovviamente possiamo andare avanti all’infinito definendo successioni di Pentanacci, Esanacci, Eptanacci, eccetera.
La variante che esamineremo ora invece effettua il seguente cambiamento di regola: ogni termine è la somma del penultimo e del terzultimo termine precedente, e i primi tre termini sono $1$, $1$ e $1$.
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