Il teorema di Frégier

Data una conica $\mathcal C$ ed un punto $P$ che le appartiene, tutte le corde di $\mathcal C$ viste da $P$ sotto un angolo retto si incon­trano in un unico punto $F$, detto punto di Frégier associato a $P$. Se $\mathcal C$ è un’iperbole vanno considerati anche i prolungamenti delle corde.

Possiamo dimostrare questo teorema attraverso la geometria analitica. Scegliamo un sistema di coordinate in cui il punto $P$ coincida con l’origine degli assi e la tangente in $P$ alla conica $\mathcal C$ sia orizzontale.

L’equazione di una conica può essere scritta in generale nella forma$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F=0.\tag{1}$$Poiché $\mathcal C$ passa per l’origine deve essere $F=0$. Derivando rispetto a $x$ l’equazione in $(1)$ otteniamo$$2Ax + B(y + xy') + 2Cy+ D + Ey'=0$$ e imponendo che per $x=y=0$ si abbia $y'=0$ otteniamo $D=0$. Deve aversi $E\neq0$ affinché la conica $\mathcal C$ non sia degenere.

La costante plastica (feat. rapporto aureo)

Prendendo come spunto la successione di Fibonacci ($1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8,\ldots$) dove ogni termine è la somma dei due precedenti e i primi due termini sono $1$ e $1$ (oppure $0$ e $1$), possiamo realizzare delle interessanti “varianti”. Ad esempio:

1. Cambiare i primi due termini della successione mantenendo la regola generale. Il caso più noto è quello della successione di Lucas (da Édouard Lucas, si pronuncia /ly'ka/) dove i primi due termini sono $2$ e $1$, ed otteniamo la successione $2$, $1$, $3$, $4$, $7$, $11,\ldots$
2. Cambiare la regola, stabilendo che ogni termine sia la somma degli ultimi tre termini della successione, prendendo come primi termini $0$, $0$ e $1$. Si ottiene la cosiddetta successione di Tribonacci che, a partire dal primo termine non nullo, è data da: $1$, $1$, $2$, $4$, $7$, $13,\ldots$
3. Cambiare la regola, stabilendo che ogni termine sia la somma degli ultimi quattro termini della successione, prendendo come primi termini $0$, $0$, $0$ e $1$. Si ottiene la cosiddetta successione di Tetranacci che, a partire dal primo termine non nullo, è data da: $1$, $1$, $2$, $4$, $8$, $15,\ldots$ Ovviamente possiamo andare avanti all’infinito definendo successioni di Pentanacci, Esanacci, Eptanacci, eccetera.

La variante che esamineremo ora invece effettua il seguente cambiamento di regola: ogni termine è la somma del penultimo e del terzultimo termine precedente, e i primi tre termini sono $1$, $1$ e $1$.