Campo tautocrono

Un corpo si trova in un campo di forze centrali con questa caratteristica: se si pone il corpo in quiete in una qualunque posizione (eccettuata, ovviamente, quella del centro del campo di forze), il corpo giungerà nel centro del campo di forze sempre nello stesso tempo, indipendentemente dalla posizione iniziale. Che caratteristiche deve avere il campo di forze?

Prendiamo un sistema di assi cartesiani con origine nel centro del campo di forze e l’asse $x$ passante per la posizione iniziale del corpo. Il moto si svolgerà lungo l’asse $x$. Per la conservazione dell’energia meccanica si ha $$\dfrac12 m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+V(x)=V(x_0)$$ dove $x_0>0$ è l’ascissa corrispondente alla posizione iniziale e $V(x)$ è l’energia potenziale associata al campo di forze (conservativo in quanto centrale). Si ha quindi $$\frac{dx}{dt}=-\sqrt{\dfrac{2[V(x_0)-V(x)]}m} \ \Rightarrow\ T_c=\sqrt{\frac m2}\int_0^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{V(x_0)-V(x)}}$$dove $T_c$ è il tempo di caduta. Ponendo $x=x_0 \xi$ si ottiene$$ T_c=\sqrt{\frac m2}\int_0^1\frac{x_0}{\sqrt{V(x_0) -V(x_0 \xi)}}\, d\xi\ .$$Se $T_c$ non dipende da $x_0$ la funzione integranda deve dipendere solo da $\xi$ e pertanto deve essere $V(x_0)-V(x_0\xi)=x_0^2\,f(\xi)$ dove $f$ è una funzione legata al potenziale $V$, e quindi si deduce $V(x_0)-V(0)=x_0^2\,f(0)$ e in generale $V(x)=V_0+x^2f(0)=V_0+\dfrac12 kx^2$ ($k>0$), per esprimerlo analogamente al potenziale di una forza elastica. La forza deve quindi essere di modulo proporzionale a $x$ (e attrattiva, è sottinteso).
Il tempo di caduta risulta $T_c=\dfrac\pi2\sqrt{\dfrac mk}$ e il moto di caduta è un moto armonico di equazione $x=x_0\cos\left(\sqrt{\dfrac km}\,t\right)$.

In tre dimensioni si avrà $V(\mathbf r)=V_0+\dfrac12k\,r^2$, $\mathbf F=-k\,\mathbf r$.

Un corpo inizialmente non in quiete percorrerà sempre un’orbita ellittica (che può degenerare in un segmento), composizione di due moti armonici, con periodo $$T=4\,T_c=2\pi\sqrt{\dfrac mk}$$indipendentemente da posizione e velocità iniziali, quindi anche le orbite sono tautocrone o isocrone.