Proviamo a visualizzare la distribuzione delle probabilità in funzione del numero di passi compiuto. Ho immaginato che il pedone compia i passi ad intervalli di tempo $\Delta t=1$ e con geogebra ho realizzato questa animazione. Ho indicato con $F(n,t)$ la probabilità che il pedone si trovi in posizione $n$ ($n\in\mathbb Z$) dopo $t$ passi.
La forma è familiare… si può migliorarla eliminando gli spazi vuoti, considerando intervalli di tempo $\Delta t=2$ e aggregando i dati di due posizioni vicine, e quindi dimezzando l’altezza in modo che la somma delle aree faccia sempre $1$.
Da $F(n,t+1)=\frac12F(n+1,t)+\frac12F(n-1,t)$ si ricava$$F(n,t+2)-F(n)=\frac14F(n+2,t)-\frac14F(n,t)-\frac14F(n,t)+\frac12F(n-2,t) \Rightarrow\\[12pt] \Rightarrow 2\,\frac{\Delta F(n,t)}{\Delta t}=\frac12\frac{\Delta F(n+1,t)}{\Delta n}-\frac12\frac{\Delta F(n-1,t)}{\Delta n}=\frac{\Delta^2 F(n,t)}{\Delta n^2} \Rightarrow\\[12 pt] \Rightarrow \frac{\Delta F(n,t)}{\Delta t}=\frac12\frac{\Delta^2 F(n,t)}{\Delta n^2}, $$dunque $F$ soddisfa un’equazione alle differenze finite simile ad un’equazione di diffusione, ed è interessante confrontare $F$ con $f$, soluzione della analoga equazione differenziale $\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t}=\dfrac12\dfrac{\partial ^2 f(x,t)} { \partial x^2}$ con la condizione $f(x,0)=\delta(x)$.
Da $F(n,t+1)=\frac12F(n+1,t)+\frac12F(n-1,t)$ si ricava$$F(n,t+2)-F(n)=\frac14F(n+2,t)-\frac14F(n,t)-\frac14F(n,t)+\frac12F(n-2,t) \Rightarrow\\[12pt] \Rightarrow 2\,\frac{\Delta F(n,t)}{\Delta t}=\frac12\frac{\Delta F(n+1,t)}{\Delta n}-\frac12\frac{\Delta F(n-1,t)}{\Delta n}=\frac{\Delta^2 F(n,t)}{\Delta n^2} \Rightarrow\\[12 pt] \Rightarrow \frac{\Delta F(n,t)}{\Delta t}=\frac12\frac{\Delta^2 F(n,t)}{\Delta n^2}, $$dunque $F$ soddisfa un’equazione alle differenze finite simile ad un’equazione di diffusione, ed è interessante confrontare $F$ con $f$, soluzione della analoga equazione differenziale $\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t}=\dfrac12\dfrac{\partial ^2 f(x,t)} { \partial x^2}$ con la condizione $f(x,0)=\delta(x)$.
Come si vede le due funzioni si sovrappongono molto bene. Poiché stiamo cercando di studiare il cammino di un pedone con i limiti che tendono ad infinito, l’intuizione ci spinge ad esaminarlo prendendo in esame la funzione $f$, o comunque una generica funzione che soddisfi l’equazione di diffusione $\dfrac{\partial f}{\partial t}=\alpha\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ ($\alpha>0$) con la condizione $f(x,0) = \delta(x)$.
Il metodo elaborato da Fourier per risolvere un’equazione di diffusione consiste nello scomporre la funzione risolvente in una combinazione lineare di funzioni risolventi $e^{ikx-\alpha k^2t}$, tenendo conto delle condizioni iniziali e delle “condizioni al contorno”.
Nel caso la combinazione lineare sia espressa come integrale, sappiamo che, data una funzione $g(x)$, sotto opportune ipotesi, essa può essere scritta come $$g(x)=\int_{-\infty} ^{+\infty}\! G(k)e^{ikx} dk\ \textrm{ dove }\ G(k)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\!g(x)e^{-ikx}dx\ .$$Nel nostro caso dove $g(x) = f(x,0) = \delta(x)$ si ha $$G(k)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\!\delta(x)e^{-ikx}dx=\frac1{2\pi}\ \forall k\in \mathbb R\Rightarrow f(x,0)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\!e^{ikx}dk \Rightarrow\\ \Rightarrow f(x,t)=\frac1{2\pi}{\large\int}_{-\infty}^{+\infty}\!e^{ikx-\alpha k^2t}dk = \frac1{2\pi}{\large\int}_{-\infty}^{+\infty}\!\exp\left[-\alpha t\left(k^2-\frac{ikx}{\alpha t}-\frac{x^2}{4\alpha^2t^2}+\frac{x^2}{4\alpha^2t^2}\right)\right]dk= \\ = \frac1{2\pi}\exp\left(-\frac{x^2}{4\alpha t}\right){\large\int}_{-\infty}^{+\infty}\!\exp\left[-\alpha t\left(k-\frac{ix}{2\alpha t}\right)^2\right]dk=\frac1{2\pi}\exp\left(-\frac{x^2}{4\alpha t}\right)\sqrt{\frac{\pi}{\alpha t}}= \\ = \frac{\exp\left(-\frac{x^2}{4\alpha t}\right)}{\sqrt{4\pi\alpha t}}\ .$$L’idea ora è di considerare un intervallo simmetrico rispetto all’origine, ad esempio $(-1,1)$ e calcolare il flusso in uscita da questo intervallo, ovvero$$\varphi(t)=-\frac{d}{dt}\int_{-1}^1 f(x,t)dx=-2\int_0^1 \frac{\partial}{\partial t}f(x,t)dx=-2\int_0^1 \alpha\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,t)dx = \\ = -2\alpha\int_0^1 \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dx = -2\alpha\,\left. \frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\right|_0^1=-2\alpha \, \left. \frac{-\frac{2x}{4\alpha t}\exp\left(-\frac{x^2}{4\alpha t}\right)}{\sqrt{4\pi\alpha t}} \right|_0^1 = \frac1{\sqrt{4\pi\alpha t^3}}e^{-\frac1{4\alpha t}}$$e, se poniamo $\alpha=\dfrac12$ otteniamo $\varphi(t)=\dfrac1{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac1{2t}}$, e si ha $\varphi(x)=\frac12 f_1(x)$.
La funzione $\varphi$ così determinata, rappresenta bene, a parte il fattore di proporzionalità, la funzione $\Lambda$ solo per $0\leq x\leq 0{,}7$, mentre se ne discosta notevolmente per $x\geq 0{,}7$. Come mai?
Se consideriamo un fenomeno di diffusione, le particelle, una volta raggiunto e superato un limite, in parte torneranno indietro e ripasseranno per l’uno o l’altro limite, e questo fenomeno sarà tanto più consistente quante più particelle saranno poco oltre i due limiti. La funzione $\varphi$ appena determinata ci dà quindi un quantitativo che non è quello cercato, perché invece, nello studiare le probabilità del pedone di raggiungere un limite dopo un certo numero di passi, una volta che il pedone ha raggiunto il limite, per così dire, “esce dal gioco” e non può “rientrare e riuscire”.
Dobbiamo quindi pensare ad un fenomeno di diffusione dove le particelle, una volta raggiunto uno dei limiti, “escano di scena”. Possiamo ottenere la giusta funzione che descrive la diffusione richiesta imponendo che si abbia $f(x,t) = 0$ per $x\notin (-1,1)$. Per ottenere questo risultato, determineremo $f$ come sommatoria discreta di funzioni del tipo $e^{ikx-\alpha k^2t}$ con $k=(2n+1)\frac\pi2$, $n\in\mathbb Z\,$. La funzione così determinata avrà in realtà periodo $4$ ma si avrà $f(-1,t)=f(1,t)=0$ $\forall t\geq0$ e porremo $f(x,t)=0$ per $x\notin (-1,1)$, ottenendo così una funzione continua in tutto $\mathbb R\,$.
Si ricava facilmente che$$g(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}G_n e^{(2n+1)i\pi x/2} \Rightarrow G_n=\frac12 \int_{-1}^{1}g(x)e^{-(2n+1)i\pi x/2}dx\ .$$Visto che nel nostro caso $g(x) = f(x,0) = \delta(x)$, si ha $$G_n=\frac12\ \forall n\in \mathbb Z \Rightarrow f(x,0)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac12 e^{(2n+1)i\pi x/2}\Rightarrow \\ \Rightarrow f(x,t)=\frac12 \sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{(n+1/2)i\pi x-\alpha (n+1/2)^2\pi^2 t}=\sum_{n=0}^\infty \cos\left[ \left( n+\frac12 \right)\pi x \right] e^{-\alpha (n+1/2)^2\pi^2 t}$$e si ha quindi$$\varphi(t)=-\frac{d}{dt}\int_{-1}^1 f(x,t)dx=-2\alpha\,\left. \frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\right|_0^1 = \\ = -2\alpha \left. \sum_{n=0}^\infty\left [ -\left( n+\frac12 \right) \pi \right] \sin \left[ \left( n+\frac12 \right)\pi x \right] e^{-\alpha (n+1/2)^2\pi^2 t}\right|_0^1 = \\ = \alpha\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)\pi \, e^{-\alpha (n+1/2)^2\pi^2 t}\ .$$Per $t$ che tende ad infinito prevale il primo termine della sommatoria e si ha $\varphi(t)\sim \alpha \, \pi \, e^{-\alpha \pi^2 t/4}$ e poiché per $x$ che tende ad infinito abbiamo visto che vale $\Lambda(x)\sim f_2(x)=\dfrac \pi2e^{-\frac{\pi^2}{8}x}$ deve essere proprio $\alpha=\frac12$ come nell’equazione di diffusione vista all’inizio e quindi si ha$$\varphi(t)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(n+\frac12\right)\pi \ e^{-(n+1/2)^2\pi^2 t/2} \Rightarrow \\ \Rightarrow \Lambda(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(n+\frac12\right)\pi\ e^{-(n+1/2)^2\pi^2 x/2}\ .$$Si può esprimere in modo più compatto la funzione $\Lambda$? La risposta è affermativa grazie ad una funzione theta di Jacobi definita da: $$\vartheta_1(u,q)=2\,q^{1/4}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{n(n+1)}\sin\left[\left(2n+1\right)u \right]=2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{(n+1/2)^2}\sin\left[\left(2n+1\right)u \right]$$e in particolare alla sua derivata rispetto a $u$:$$\vartheta_1'(u,q)=\frac{\partial}{\partial u}\vartheta_1(u,q)=2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (2n+1) q^{(n+1/2)^2}\cos\left[\left(2n+1\right)u \right]\ ,$$infatti se poniamo $u=0$, $q=e^{-\pi^2 x/2}$ otteniamo la funzione $\Lambda(x)$ a meno di un fattore $\pi/4$, e si ha quindi $$\Lambda(x)=\frac \pi 4 \vartheta_1'(0,e^{-\pi^2 x/2})\ .$$In questa animazione potete vedere l’andamento nel tempo della funzione $f$ che descrive la diffusione e in alto a destra il punto corrispondente nel grafico della funzione $\Lambda$. Come si nota anche visivamente, la funzione $\Lambda$ raggiunge il massimo quando è massima la pendenza della funzione $f$ in $-1$ e in $+1$.
Abbiamo già visto che per $x$ che tende ad infinito la funzione $\Lambda$ si comporta come la funzione $f_2$ trovata “sperimentalmente”, verifichiamo ora le altre caratteristiche.
Per $x$ che tende a $0$ si ha che $\Lambda(x)/f_1(x)$ tende a $1$, come assicura Stefano Tungsteno. Non trovando un modo di dimostrarlo, ho posto una domanda su MathOverflow e dopo meno di 24 ore è arrivata la risposta: scriviamo $$\Lambda(t)=\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n)\ \ \textrm{dove}\\ f(x) = \pi(x+1/2) \sin[\pi(x+1/2)] \exp\left[-\pi^2(x+1/2)^2t/2\right]$$e applichiamo la formula di sommazione di Poisson:$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n)=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(2\pi n)\ \ \textrm{dove}\ \ \hat f(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}\! f(x)e^{-isx}dx\ .$$La funzione $\hat f(s)$ è la trasformata di Fourier di $f(x)$ e risulta$$\hat{f}(s)=\frac1{\sqrt{2\pi t^3}}e^{is/2}\left[(s/\pi+1)e^{-(s/\pi+1)^2/(2t)}-(s/\pi-1)e^{-(s/\pi-1)^2/(2t)}\right]\ .$$Si ha allora $$\Lambda(t) =\sqrt\frac{2\pi}{t^3}\left[e^{-1/(2t)}-3e^{-9/(2t)}+5e^{-25/(2t)}-\ldots\right]$$e, come si vede, per $t$ che tende a $0$ il termine prevalente è il primo, che corrisponde a $f_1(t)$. Mi sorprende come la stessa funzione possa essere espressa come sommatoria in due distinti modi e, sebbene siano strettamente collegati, una sommatoria è in un certo senso uno sviluppo in un intorno di $+\infty$ e l’altra uno sviluppo in un intorno (destro) di $0$. Avendo uno spirito da 007, sono andato a cercare su internet informazioni sulla cortese persona che mi ha risposto, ed ho scoperto che Alexandre Eremenko è un fior di matematico che nel 2001 ha ricevuto il premio Humboldt! Non è meraviglioso che internet permetta queste interazioni?
Riguardo agli integrali, si ha$$ \int_0^{+\infty} \!\Lambda(x)dx =\frac\pi2\int_0^{+\infty}\!\left(e^{-\frac{\pi^2} 8x}-3\,e^{-\frac{9\pi^2} 8x}+5\,e^{-\frac{25\pi^2} 8x}-\ldots\right)dx= \\[15pt] =\frac\pi2\left[\frac{8}{\pi^2}-3 \left(\frac{8}{9\pi^2}\right )+5 \left(\frac{8}{25\pi^2}\right )-\ldots\right]=\frac{\pi}{2}\frac{8}{\pi^2}\left(1-\frac13+\frac15-\ldots \right )= \frac4\pi\frac\pi4=1\ , $$
inoltre $$\int_0^{+\infty}\!x\Lambda(x)dx = \frac\pi2\int_0^{+\infty}\!\left(x\,e^{-\frac{\pi^2} 8x} -3x\, e^{-\frac{9\pi^2} 8x}+5x\,e^{-\frac{25\pi^2} 8x}-\ldots\right)dx= \\ =\frac\pi2\left[\left( \frac{8}{\pi^2}\right )^2-3 \left(\frac{8}{9\pi^2}\right )^2+5 \left(\frac{8}{25\pi^2}\right )^2-\ldots\right]=\frac{\pi}{2}\frac{64}{\pi^4}\left(1-\frac1{3^3}+\frac1{5^3}-\ldots \right ) = \\ = \frac{32}{\pi^3}\frac{\pi^3}{32}=1$$
e $$\int_0^{+\infty}\!x^2\Lambda(x)dx=\frac\pi2\int_0^{+\infty}\!\left(x^2\,e^{-\frac{\pi^2} 8x} -3x^2 \,e^{-\frac{9\pi^2} 8x}+5x^2\,e^{-\frac{25\pi^2} 8x}-\ldots\right)dx= \\ =\frac\pi2\left[2\left( \frac{8}{\pi^2}\right )^3-2\cdot 3 \left(\frac{8}{9\pi^2}\right )^3+2\cdot 5 \left(\frac{8}{25\pi^2}\right )^3-\ldots\right]=\pi\frac{512}{\pi^6}\left(1-\frac1{3^5}+\frac1{5^5}-\ldots \right )= \\ = \frac{512}{\pi^5}\frac{5\pi^5}{1536}= \frac53\ .$$Risulta inoltre $\displaystyle{\int_0^{+\infty}}\!(x-1)^3\Lambda(x)dx=\dfrac{16}{15}$ da cui si ricava che $\Lambda$ ha un indice di asimmetria pari a $4\sqrt6/5\simeq 1{,}96$.
La funzione $\Lambda$ ha il suo massimo in $x\simeq0{,}333284$ che è vicinissimo a $\dfrac13$ dove ha massimo la funzione approssimante $f_1$. La mediana corrisponde a $x\simeq0{,}757495$ mentre il $95\%$ di probabilità di avere raggiunto uno dei due limiti corrisponde a $x\simeq2{,}624054$.
おわり
(ultimo aggiornamento: 10/12/2021)
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