Una camminata casuale: 2 – distribuzioni di probabilità

Alla fine della puntata precedente ci eravamo chiesti come calcolare la specifica probabilità che un pedone giunga in uno dei limiti in esattamente $l$ passi, oppure quale sia il numero di passi per cui la probabilità che il pedone abbia raggiunto uno dei due limiti abbia un certo valore $p$.

Un modo di rispondere a queste domande è utilizzare la matrice di Markov relativa al caso che vogliamo esaminare.

Ho considerato il caso più semplice in cui le probabilità di muoversi a sinistra o a destra sono uguali ($p=q=\frac12$) ed il pedone è inizialmente in posizione $0$ con limiti simmetrici in $-n$ e $+n$. Nel caso $n=4$ possiamo scrivere la matrice di Markov $\mathbf M$ come nella figura qui a lato. Gli elementi estremi della riga centrale di $\mathbf M^l$ corrispondono alle probabilità che il pedone sia giunto ad uno dei limiti dopo $l$ passi.

Ho calcolato le probabilità per $n=10$ e per $n=20$ e ho fatto i rispettivi grafici (vedi figure $1$ e $2$). Dai grafici ho eliminato i punti relativi a $x$ dispari per i quali, come si evince con semplici considerazioni di parità, la probabilità $p(x)$ è nulla. I due grafici sono molto simili, quello relativo a $n=20$ però ha una dilatazione orizzontale di un fattore $4$ e una compressione verticale dello stesso fattore rispetto a quello relativo a $n=10$. Questo è coerente col fatto che il cammino medio prima di giungere ad uno dei limiti è di $n^2$ passi. Allora ho provato a trovare le distribuzioni di probabilità per alcuni valori di $n$ e a confrontarne i grafici “comprimendoli” orizzontalmente di un fattore $n^2$ e “dilatandoli” verticalmente di un fattore $n^2/2$. Il fattore $2$ di compressione verticale è dovuto al fatto che in realtà ho eliminato i punti relativi a $x$ dispari, e con questa scelta l’area sotto il grafico tende a $1$ per $n$ che tende ad infinito, come deve essere per una funzione di probabilità. Il risultato è visibile nella figura $3$. Come si vede, i grafici tendono a quello di una funzione “universale” ben precisa, chiamiamola $\Lambda(x)$, con la caratteristica che $$\int_0^x\!\!\Lambda(\xi)d\xi=\lim_{n\to\infty}P(L_n<n^2x)$$dove il secondo membro dell’uguaglianza indica la probabilità che il pedone raggiunga $-n$ o $+n$ in un numero di passi $L_n$ minore di $n^2x$.

Si ha, come detto, $\displaystyle{\int_0^{+\infty}\!\!\Lambda(x)dx=1}$, e poiché il numero medio di passi prima di raggiungere un limite è $\langle L \rangle=n^2$, deve essere anche $\langle x\rangle=\frac{\langle L \rangle}{n^2}=1$ e quindi $\displaystyle{\int_0^{+\infty} \!\!x \Lambda(x) dx=1}$. Inoltre, essendo la varianza del numero dei passi, come visto, pari a $\sigma_L^2 = \frac23n^2 (n^2-1)$, si ha $\langle x^2 \rangle=\langle x \rangle^2+\sigma_x^2=1+\frac23=\frac53$ e quindi $\displaystyle {\int_0^{+\infty} \!\!x^2 \Lambda(x) dx}=\frac53$.

Andando ad esaminare la funzione $\Lambda$ nella sua approssimazione ottenuta per $n=150$, rileviamo qualche altra informazione: il massimo vale circa $0{,}925$ e si ha per $x\simeq\frac13$ (un cicinino in meno di $\frac13$), la mediana corrisponde a $x\simeq0{,}757$.

Qual è l’espressione di questa funzione? Ho cercato un po’ “sperimentalmente” due funzioni che approssimassero la funzione $\Lambda$ per $x\to0$ e per $x\to\infty$ ed ho trovato le funzioni $f_1(x)=\sqrt{\dfrac 2{\pi x^3}}e^{-\frac1{2x}}$ e $f_2(x)=\dfrac \pi2e^{-\frac{\pi^2}{8}x}$. Come si vede dalla figura $4$, le due funzioni sembrano quasi “darsi il cambio”: $f_1$ approssima ottimamente $\Lambda$ per $0\leq x\leq0{,}7$ , mentre $f_2$ svolge lo stesso ruolo per $x\geq0{,}7$. Come esprimere una funzione con questo comportamento e che soddisfi le tre condizioni integrali viste prima? Provando a combinare in vario modo le due funzioni approssimanti non si giunge a niente di soddisfacente. Il quesito è rimasto lì per qualche mese finché un giorno capii che “a te convien tenere altro vïaggio”…

Stay tuned…

つづく

Figura 1. Probabilità di raggiungere $-n$ o $+n$ dopo $x$ passi per $n=10$.

Figura 1. Probabilità di raggiungere $-n$ o $+n$ dopo $x$ passi per $n=20$.

Figura 3. Funzioni di probabilità normalizzate per $n=4$, $n=6$, $n=12$ e $n=150$.

Figura 4. La funzione $\Lambda$ e le funzioni approssimanti $f_1$ e $f_2$.