Il triangolo no! e invece sì!! (5/5)

Ovvero: tetraedri, ma con ordine!

Nella puntata precedente abbiamo considerato sestuple $(x_1,x_2,\ldots,x_6)$ con $x_i\in\{1,2,\ldots,n\}$ e abbiamo cercato quante di queste sestuple possano corrispondere alle lunghezze degli spigoli di un tetraedro. Risulta che vi sono al massimo $30$ tetraedri possibili per sestupla, in quanto le permutazioni degli $x_i$ sono ovviamente $6!=720$ ma per ogni sestupla ordinata vi sono $24$ permutazioni (inclusa quella identica) che corrispondono allo stesso tetraedro.

Stavolta facciamo contare l’ordine degli $x_i$ e in particolare consideriamo $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ come lati di una faccia, $x_4$ opposto a $x_1$, $x_5$ opposto a $x_2$ e $x_6$ opposto a $x_3$, come raffigurato nell’immagine qui a lato. Naturalmente, essendoci stavolta il vincolo di rispettare un certo ordine, troveremo un numero di sestuple minore rispetto a quelle trovate consentendo la permutazione degli elementi.

Con un programmino ora possiamo contare, fissato $n$, quante sestuple ordinate $T_o(n)$ corrispondono ad un tetraedro. Per $n$ da $1$ a $10$ troviamo questi valori:

$$\begin{array} {|c|r|}\hline \mathbf n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \mathbf{T_o(n)} & 1 & 15 & 124 & 603 & 2173 & 6204 & 15201 & 33149 & 66002 & 122410 \\ \hline \mathbf{T_o(n)/n^6} & 1{,}0000 & 0{,}2344 & 0{,}1701 & 0{,}1472 & 0{,}1391 & 0{,}1330 & 0{,}1292 & 0{,}1265 & 0{,}1242 & 0{,}1224\\ \hline \end{array} $$

La successione $T_o(n)$ è stata sottoposta ad OEIS, insieme alla successione delle differenze (sequenze A349295 e A349296).

Il rapporto $T(n)/n^6$ decresce con $n$ e pare tendere, lentamente, ad un valore limite. Ho valutato $T(n)$ esattamente fino a $n=254$ dove $T(n)/n^6\simeq0{,}1040256$. Ho poi valutato $T(n)/n^6$ con metodo Monte Carlo per $n$ uguale a $333$, $500$, $1.000$, $2.000$ e $10.000$ (sempre con più di $10^{12}$ estrazioni)

A questo punto, per considerare il caso continuo in cui gli $x_i$ sono distribuiti uniformemente in $(0,1)$ ho preso $n=2^{32}$ e con un test Monte Carlo ho estratto $6{,}4\times10^{12}$ sestuple – $64.000$ lotti ognuno con $10^8$ estrazioni – ed ho valutato che la probabilità che una sestupla  corrisponda alle lunghezze degli spigoli di un tetraedro è $$p=\lim_{n\to\infty}\dfrac{T_o(n)}{n^6} = 0{,}10292439 \pm 0{,}00000024 \quad \textrm{(c.l. 95%)}\ .$$Poiché per $n$ che tende ad infinito la probabilità che una sestupla abbia tutti gli elementi diversi fra loro, e quindi esistano $30$ configurazioni diverse (corrispondenti ad altrettanti possibili tetraedri), tende a $1$, possiamo ritrovare, con maggior precisione ovviamente, il numero medio di configurazioni “valide” per sestupla che è $$\langle c \rangle=30\times (0{,}10292439 \pm 0{,}00000024)=3{,}0877317\pm 0{,}0000072\ .$$

おわり

Figura 1. La distribuzione dei campioni rilevati per determinare $p$ segue una distribuzione binomiale che è indistinguibile da una gaussiana essendo molto grande il numero di estrazioni per ogni lotto ($n_s=10^8$).

Figura 2. $T_o(n)/n^6$ in funzione di $\log_2 n$.

Figura 3. $\log_2[T_o(n)/n^6-p]$ in funzione di $\log_2 n$.

Figura 4. $T_o(n)/n^6$ in funzione di $1/n$.

Figura 5. $T_o(n)/n^6$ in funzione di $1/n$.