Una camminata casuale: 2 – distribuzioni di probabilità

Alla fine della puntata precedente ci eravamo chiesti come calcolare la specifica probabilità che un pedone giunga in uno dei limiti in esattamente $l$ passi, oppure quale sia il numero di passi per cui la probabilità che il pedone abbia raggiunto uno dei due limiti abbia un certo valore $p$.

Un modo di rispondere a queste domande è utilizzare la matrice di Markov relativa al caso che vogliamo esaminare.

Ho considerato il caso più semplice in cui le probabilità di muoversi a sinistra o a destra sono uguali ($p=q=\frac12$) ed il pedone è inizialmente in posizione $0$ con limiti simmetrici in $-n$ e $+n$. Nel caso $n=4$ possiamo scrivere la matrice di Markov $\mathbf M$ come nella figura qui a lato. Gli elementi estremi della riga centrale di $\mathbf M^l$ corrispondono alle probabilità che il pedone sia giunto ad uno dei limiti dopo $l$ passi.

Una camminata casuale: 1 – passi e probabilità

Un pedone è posto in $x=0$. Si lancia una moneta e, se esce testa il pedone si sposta di una unità verso destra, altrimenti si sposta di una unità verso sinistra. Qual è il numero medio di lanci da effettuare affinché il pedone raggiunga una distanza $n$ dall’origine? Chiamo $E(x)$ ($x\in \mathbb N$) il numero medio di lanci affinché il pedone passi dalla posizione $0$ a una posizione distante $x$ dall’origine, e $E(a;b)$ ($a,b\in \mathbb N$) il numero medio di lanci affinché il pedone passi da una posizione distante $a$ dall’origine a una posizione distante $b$ dall’origine.

Il triangolo no! e invece sì!! (5/5)

Ovvero: tetraedri, ma con ordine!

Nella puntata precedente abbiamo considerato sestuple $(x_1,x_2,\ldots,x_6)$ con $x_i\in\{1,2,\ldots,n\}$ e abbiamo cercato quante di queste sestuple possano corrispondere alle lunghezze degli spigoli di un tetraedro. Risulta che vi sono al massimo $30$ tetraedri possibili per sestupla, in quanto le permutazioni degli $x_i$ sono ovviamente $6!=720$ ma per ogni sestupla ordinata vi sono $24$ permutazioni (inclusa quella identica) che corrispondono allo stesso tetraedro.

Stavolta facciamo contare l’ordine degli $x_i$ e in particolare consideriamo $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ come lati di una faccia, $x_4$ opposto a $x_1$, $x_5$ opposto a $x_2$ e $x_6$ opposto a $x_3$, come raffigurato nell’immagine qui a lato. Naturalmente, essendoci stavolta il vincolo di rispettare un certo ordine, troveremo un numero di sestuple minore rispetto a quelle trovate consentendo la permutazione degli elementi.

La funzione del collezionista (2/2)

Abbiamo visto alcuni risvolti matematici della raccolta delle figurine. Che cosa cambia se si possono scambiare le figurine con altri collezionisti? Ovviamente ne dovremo, in media, comprare di meno per completare l’album. Vediamo in dettaglio.

Nel caso di un collezionista solitario, il numero medio di figurine da acquistare per completare un album di $N$ figurine è, come già visto: $$\langle F \rangle =\sum_{k=1}^N \frac Nk =N (\ln N + \gamma ) + \frac12 + O \left( \frac1N \right)\ .$$Nel caso di $c$ collezionisti, il numero medio di figurine richiesto per completare $c$ album di $N$ figurine non è esprimibile altrettanto facilmente