Il teorema di Pick

Prendiamo una figura poligonale non intrecciata i cui vertici giacciono in punti dove le linee verticali e orizzontali di un reticolo quadrato si intersecano.

Esiste una formula semplice per determinarne la superficie: $S=I+\frac12B-1$ dove $I$ è il numero di punti del reticolo all’interno della figura e $B$ il numero di punti del reticolo lungo il perimetro della figura.

Per dimostrarlo, consideriamo due figure adiacenti, $F_1$ e $F_2$ e la figura unione $F_3$. Unendo le due figure, un certo numero $n$ di punti, che erano lungo i due perimetri, diventano punti interni. Si avrà allora: $I_3=I_1+I_2+n$

D’altra parte, unendo le due figure, i due perimetri insieme perdono due volte gli $n$ punti. Inoltre, i due punti estremi del segmento di contatto, che prima venivano contati due volte, ora sono contati una sola volta. Si avrà quindi: $B_3=B_1+B_2-2n-2$.

Si ha allora che $$I_3+\frac12B_3-1=(I_1+I_2+n)+\frac12(B_1+B_2-2n-2) - 1 = \\ =(I_1+\frac12 B_1-1)+(I_2+\frac12 B_2-1)\ .$$La funzione $I+\frac12 B-1$ è dunque additiva ed inoltre, applicata ad un quadrato unitario, restituisce come valore $0+\frac12\cdot4-1=1$. Questo basta per dimostrare che tale funzione rappresenta proprio l’area in quadretti di una figura con i vertici sul reticolo quadrato.

Nota: lo scopritore di questo teorema, Georg Alexander Pick (1859-1942), era austriaco di origine ebraica. Il 13 luglio 1942 fu deportato nel campo di concentramento di Theresienstadt, ove morì il 26 luglio.