Il quarto criterio di congruenza

Com’è noto, nella geometria euclidea esistono tre criteri di congruenza per i triangoli, ovvero tre condizioni sufficienti ad affermare che due triangoli sono congruenti. Nello specifico due triangoli sono congruenti se:

• (I) hanno congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso (LAL);
• (II) hanno congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti (ALA);
• (III) hanno congruenti i tre lati (LLL).

Un eventuale quarto criterio di congruenza dovrebbe considerare come condizione che i due triangoli abbiano gli stessi angoli interni (AAA). Ma nella geometria euclidea, una volta introdotto il postulato della parallela, si trova che esistono infiniti triangoli non congruenti con gli stessi angoli interni e quindi non può esistere un quarto criterio di congruenza.

E… nelle geometrie non euclidee, ossia dove non vale il quinto postulato? Nella geometria iperbolica e in quella sferica o ellittica due triangoli con gli stessi angoli interni sono congruenti. Nella geometria euclidea due triangoli hanno gli stessi angoli interni se e solo se hanno i lati in proporzione e sono detti simili, nelle geometrie non euclidee esistono triangoli simili, ovvero con i lati in proporzione, ma, a meno che siano congruenti, non hanno gli stessi angoli interni. I triangoli equilateri (tutti ovviamente simili fra loro), ad esempio, nella geometria iperbolica hanno angoli interni congruenti minori di $60^\circ$, e i loro lati sono tanto più grandi quanto più gli angoli interni sono piccoli, mentre nella geometria sferica i triangoli equilateri hanno angoli interni congruenti maggiori di $60^\circ$ e i loro lati sono tanto più grandi quanto più gli angoli interni sono grandi.

Geometria iperbolica

Sotto l’ipotesi di geometria iperbolica consideriamo due triangoli, $ABC$ e  $A'B'C'$, con gli stessi angoli interni e dimostriamo che essi devono essere necessariamente congruenti.

Supponiamo per assurdo che i due triangoli non lo siano. Allora i lati corrispondenti devono essere tutti fra loro diseguali: infatti, se anche una sola coppia di lati corrispondenti fosse formata da segmenti congruenti, $ABC$ e $A'B'C'$ sarebbero congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Trasportiamo il triangolo $A'B'C'$ sopra al triangolo $ABC$ in modo che l’angolo $\widehat{A'}$ vada a sovrapporsi all’angolo $\widehat A$, il lato $A'B'$ vada a sovrapporsi al lato $AB$ e il lato $A'C'$ vada a sovrapporsi al lato $AC$. Senza perdere di generalità, possiamo supporre che sia $A'C'<AC$.

Se si avesse $A'B'<AB$ allora il triangolo $A'B'C'$ risulterebbe tutto interno al triangolo $ABC$. Nella geometria iperbolica l’area di un triangolo risulta essere $S_{ABC}=k[\pi-(\alpha+\beta+\gamma)]$ dove $k$ è una costante di proporzionalità positiva e $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli interni.

I triangoli $ABC$ e $A'B'C'$, possedendo gli stessi angoli interni, avrebbero dunque la stessa area pur essendo uno strettamente contenuto dentro l’altro, il che non è possibile.

Se invece si avesse $A'B'>AB$, si formerebbe il triangolo $C'CD$ di cui l’angolo $A\widehat{C'}D=A'\widehat{C'}B'$ è un angolo esterno e dovrebbe essere maggiore dell’angolo interno ad esso non adiacente $C'\widehat{C}D=A\widehat{C}B$, cosa che non può essere poiché i due angoli sono congruenti per ipotesi.

L’unica possibilità è quindi che i triangoli $ABC$ e $A'B'C'$ siano congruenti.

Geometria sferica

Qui la dimostrazione si fa un po’ più complessa perché nella geometria sferica non è solo il postulato della parallela ad essere negato e, fra le altre cose, non vale il teorema per cui l’angolo esterno ad un triangolo è maggiore degli angoli interni non adiacenti.

Sotto l’ipotesi di geometria sferica consideriamo due triangoli, $ABC$ e $A'B'C'$, con gli stessi angoli interni e dimostriamo che essi devono essere necessariamente congruenti.

Supponiamo per assurdo che i due triangoli non lo siano. Allora i lati corrispondenti devono essere tutti fra loro diseguali analogamente a quanto visto prima.

Trasportiamo il triangolo $A'B'C'$ sopra al triangolo $ABC$ in modo che l’angolo $\widehat{A'}$ vada a sovrapporsi all’angolo $\widehat{A}$, il lato $A'B'$ vada a sovrapporsi al lato $AB$ e il lato $A'C'$ vada a sovrapporsi al lato $AC$. Senza perdere di generalità, possiamo supporre che sia  $A'C'<AC$.

Se si avesse $A'B'<AB$ allora il triangolo $A'B'C'$ risulterebbe tutto interno al triangolo $ABC$. Nella geometria sferica l’area di un triangolo risulta essere $S_{ABC}=[(\alpha+\beta+\gamma)-\pi]r^2$ dove $r$ è il raggio della sfera e $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli interni.

I triangoli $ABC$ e $A'B'C'$, possedendo gli stessi angoli interni, avrebbero dunque la stessa area pur essendo uno strettamente contenuto dentro l’altro, il che non è possibile.

Se invece si avesse $A'B'>AB$, si formerebbero i triangoli $C'CD$ e $B'BD$, entrambi con due angoli interni supplementari.

Andiamo ad esaminare questo tipo di triangoli: se gli angoli supplementari sono uguali, ovvero retti, è facile convincersi che i lati del triangolo sferico ad essi opposti misurano un angolo retto (misuriamo i lati attraverso l’angolo al centro della sfera che insiste su di essi). Se invece non sono uguali, andiamo a dimostrare che i lati ad essi opposti sono supplementari. Infatti, prendiamo il triangolo sferico $ABC$ con angoli $\alpha$ e $\beta$ supplementari. Da $M$, punto medio della base $AB$, tracciamo la perpendicolare all’arco di cerchio massimo passante per $AC$ e sia $H$ il suo piede, e prolunghiamo la perpendicolare fino ad incontrare il lato $BC$ in $K$. I triangoli $AHM$ e $BKM$ sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli e, in particolare, l’angolo $M\widehat{K}B$ è retto, e i segmenti $AH$ e $KB$ sono congruenti. Da ciò discende che i segmenti $HC$ e $KC$ misurano un angolo retto e che la somma dei lati $AC$ e $BC$ dà un angolo piatto.

Torniamo ora ai triangoli $C'CD$ e $B'BD$: se gli angoli $\beta$ e $\gamma$ sono uguali, allora $C'D=DB$ e $CD=DB'$. Da ciò segue che $BC$ e $B'C'$ misurano un angolo piatto, il che comporta che anche l’angolo $\alpha$ è piatto e quindi i triangoli $ABC$ e $A'B'C'$ sono degeneri. Anche se li considerassimo triangoli a pieno titolo essi, pur avendo formalmente due lati diseguali, sono comunque sovrapponibili e, in questo senso, congruenti. Si considerino ad esempio i triangoli degeneri $ABC$ e $ABC'$ della figura qui sotto. Se invece $\beta$ e $\gamma$ non sono uguali, avendosi comunque che la somma dei lati $BC$ e $B'C'$ è pari ad un angolo giro, si avrà ad esempio $BC>\pi>B'C'$. Anche considerando a pieno titolo un triangolo con un lato maggiore di un angolo piatto (ovvero un lato maggiore di una semicirconferenza massima, e che quindi non è il cammino più breve tra i suoi estremi), è facile convincersi che se un triangolo ha un lato maggiore di un angolo piatto, pure l’angolo ad esso opposto deve essere maggiore di un angolo piatto, e analogamente se un triangolo ha un lato minore di un angolo piatto, pure l’angolo ad esso opposto deve essere minore di un angolo piatto. Si dovrebbe quindi avere $\alpha>\pi>\alpha'$, contro l’ipotesi per cui  $\alpha=\alpha'$.

Si conclude quindi che $ABC$ e $A'B'C'$ non possono che essere congruenti.