sabato 16 ottobre 2021

Congruenze coniche

Indagando sui tetraedri mi sono imbattuto in una curiosa “coincidenza” che, generalizzando, è riassunta nella figura a lato: prendiamo un punto $P$ nel II quadrante e un punto $Q$ nel I quadrante e tracciamo iperboli ed ellissi passanti per $P$ e $Q$, tutte con gli stessi fuochi $F_1(0,-c)$ e $F_2(0,c)$. Le quattro coniche si intersecano com­ples­si­va­men­te in $16$ punti, e tra questi scegliamo $P'$, $Q'$, $R$ e $R'$ come in figura. Ebbene, si ha $PQ=P'Q'$ e $PR=P'R'$ (vi sono anche altre congruenze “nascoste” nella figura, oltre a quelle banali legate alla riflessione rispetto ad una retta).
La cosa si può dimostrare facilmente utilizzando la geometria analitica: se $a$ e $A$ sono i semiassi maggiori delle ellissi $(a<A)$ e $b$ e $B$ i semiassi trasversi delle iperboli $(b>B)$ si ricava che
$$PQ=P'Q'=\frac1c \sqrt{c^2(a^2 +A^2+b^2 +B^2)-2 c^4+2 aAbB -2 \sqrt{\left(a^2-c^2\right) \left(A^2-c^2\right)\left(c^2-b^2\right)\left(c^2-B^2\right)}}\\PR=P'R'=\frac1c \sqrt{c^2(a^2 +A^2+b^2 +B^2)-2 c^4+2 aAbB +2 \sqrt{\left(a^2-c^2\right) \left(A^2-c^2\right)\left(c^2-b^2\right)\left(c^2-B^2\right)}}\ .$$
La cosa diventa più semplice se utilizziamo le coordinate ellittiche (vedi qui) e si ha $$\begin{array}{ll} P\ (-c\sin u\cosh v, c\cos u\sinh v), & \quad P'\ (-c\sin u'\cosh v, c\cos u'\sinh v)\\ Q\ (c\sin u'\cosh v', c\cos u'\sinh v'), & \quad Q'\ (c\sin u\cosh v', c\cos u\sinh v')\\ R\ (-c\sin u'\cosh v', c\cos u'\sinh v'), & \quad R'\ (-c\sin u\cosh v', c\cos u\sinh v') \end{array}$$dove $\sin u=\dfrac bc$, $\sin u'=\dfrac Bc$, $\cosh v=\dfrac ac$, $\cosh v'=\dfrac Ac$ con $u,u'\in(0,\pi/2)$ ed allora
$$PQ=P'Q'=c\sqrt{\cosh^2 v+\cosh ^2 v'-\cos^2 u-\cos^2 u'+2 \cosh v\cosh v'\sin u\sin u'-2\sinh v\sinh v'\cos u\cos u' }\\ PR=P'R'= c\sqrt{\cosh^2 v+\cosh ^2 v'-\cos^2 u-\cos^2 u'+2 \cosh v\cosh v'\sin u\sin u'+2\sinh v\sinh v'\cos u\cos u'}\ .$$
Ora in realtà, possiamo formulare questa proprietà anche senza far ricorso alle coniche (che ho utilizzato per visualizzare più facilmente questa caratteristica), naturalmente tenendo anche conto delle appartenenze dei punti ai rispettivi quadranti: $$\left\{ \begin{array}{l} PF_1+PF_2=P'F_1+P'F_2 \\ QF_1+QF_2=Q'F_1+Q'F_2 \\ PF_2-PF_1=Q'F_1-Q'F_2 \\ P'F_2-P'F_1=QF_1-QF_2 \end{array}\right.\; \Rightarrow PQ=P'Q'$$ed analogamente per $PR=P'R'$.
Le domande che mi si pongono sono due:
  1. È possibile dimostrare questa proprietà in modo puramente geometrico?
  2. Questa proprietà vale anche nelle geometrie non euclidee?
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Aggiornamento (20/10/2021)

Ho considerato la proiezione gnomonica di una sfera, che trasforma archi di cerchio massimo in segmenti. Se $P(x_P,y_P)$ e $Q(x_Q,y_Q)$ sono due punti sul piano cartesiano, applicando il teorema del coseno al triangolo $CPQ$ ($C$ è il centro della sfera), troviamo facilmente l’angolo $\widehat{PCQ}$ e quindi la distanza (ovvero la lunghezza dell’arco di cerchio massimo) fra i punti corrispondenti a $P$ e $Q$ sulla sfera di raggio $r$, e si ha: $$d(P,Q)=r \arccos \left( \frac {r^2 + x_P\,x_Q +y_P\,y_Q}{\sqrt{r^2+x_P^2+y_P^2}\ \sqrt{r^2 +x_Q^2 +y_Q^2}} \right )\ .$$
Con questa metrica, ponendo $r=10$, ho trovato le equazioni di ellissi e iperboli con fuochi in $F_1(-1,0)$ e $F_2(1,0)$ con $a=3/2$, $A=3$, $b=3/4$, $B=1/4$ e quindi le coordinate dei punti $P$, $Q$, $P'$ e $Q'$, ed effettivamente $d(P,Q)=d(P',Q')$ (nella figura a lato le proiezioni gnomoniche delle “coniche sferiche”). Poiché ra­ra­men­te in matematica le coincidenze sono casuali, viene da pensare che la proprietà valga in generale anche nella geometria sferica (e in quella iperbolica) e quindi in una eventuale dimostrazione puramente geometrica non sia necessario utilizzare il V postulato o una delle sue conseguenze, come quella relativa alla somma degli angoli interni di un triangolo.

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