Balistica viscosa

Se consideriamo il moto di un corpo soggetto alla sola forza di gravità, com’è noto si ha $\mathbf F = \mathbf F_P=m\mathbf g$ che, insieme alla seconda legge di Newton $\mathbf F = m\mathbf a$ porta a $\mathbf a=\mathbf g$. Se prendiamo un sistema di coordinate $(x,y)$ con l’asse $x$ orientato orizzontalmente e l’asse $y$ orientato verticalmente, otteniamo le equazioni $\ddot x=0$ e $\ddot y=-g$ che, insieme alle condizioni iniziali $x(0)=x_0$, $y(0)=y_0$, $\dot x(0)=v_{0,x}$ e $\dot y(0)=v_{0,y}$ portano alla soluzione$$\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+v_{0,x}\,t \\ y=y_0 + v_{0,y}\,t-\frac12 gt^2 \end{array} \right. \ \mathrm{con}\ \left\{\begin{array}{l} \dot x=v_x= v_{0,x} \\ \dot y = v_y = v_{0,y}-gt \end{array}\right.\ .$$In presenza di forze di attrito le cose, dal punto di vista matematico, si fanno più complicate, ma in condizioni di velocità sufficientemente basse la forza di attrito ha la stessa direzione della velocità, verso opposto e modulo proporzionale alla velocità stessa: $\mathbf F_v= -b\,\mathbf v$, dove $b$ dipende dalla viscosità $\eta$ del fluido, dalle dimensioni e dalla forma del corpo: nel caso di una sfera di raggio $r$ si ha $b=6\pi\eta r$. Applicando la seconda legge di Newton si ha allora $m\mathbf a=\mathbf F_P+\mathbf F_v=m\mathbf g-b\,\mathbf v$ e, ponendo $\beta=-b/m$, otteniamo $\mathbf a=\mathbf g-\beta \mathbf v$, che porta alle equazioni differenziali $\ddot x=-\beta \dot x$ e $\ddot y=-g-\beta \dot y$. È da notare che le equazioni differenziali che riguardano $x$ e $y$ sono ancora indipendenti fra loro. Imponendo le condizioni iniziali viste prima e risolvendo otteniamo:

$$\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+\dfrac{v_{0,x}}{\beta}(1-e^{-\beta t}) \\ y=y_0 + \dfrac{v_{0,y}}{\beta}(1-e^{-\beta t})+\dfrac g{b^2}(1-\beta t-e^{-\beta t}) \end{array} \right. \ \mathrm{con}\ \left\{\begin{array}{l} \dot x=v_x= v_{0,x}\,e^{-\beta t} \\ \dot y = v_y = v_{0,y}\,e^{-\beta t}-\dfrac g\beta(1-e^{-\beta t}) \end{array}\right.\ .$$

Se sviluppiamo al prim’ordine rispetto a $\beta$ otteniamo$$\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+v_{0,x}\,t-\frac12\beta v_{0,x}\,t^2+O(\beta^2) \\ y=y_0 + v_{0,y}\,t-\frac12 gt^2-\frac16\beta\,t^2(3v_{0,y}-gt)+O(\beta^2) \end{array} \right.\ .$$Possiamo ricavare $t$ in funzione di $x$, e si ha $t=-\dfrac1\beta\ln\left[ 1-\dfrac{ \beta(x-x_0)}{v_{0,x}}\right ]$ e, sostituendo poi nell’equazione di $y$ in funzione di $t$, otteniamo l’equazione della traiettoria.

Se volete fare qualche “esperimento”, il link all’applet geogebra è questo. Potete sperimentare ad esempio: in presenza di attrito, per ottenere la gittata massima partendo da quota zero si deve lanciare il grave con angolazione superiore o inferiore a $45^\circ$?