La funzione del collezionista (1/2)

«Ho comprato un album di figurine: quante ne dovrò acquistare in media per completarlo?»

Può essere formulato così il cosiddetto problema del collezionista. Si suppone che le figurine in vendita abbiano tutte la stessa probabilità di comparire. Se l’album ha $N$ figurine, la probabilità che la prima figurina comprata vada ad occupare un posto libero è naturalmente $p_1=1$; affinché la seguente figurina vada ad allargare la collezione, essa deve essere fra le $N-1$ rimanenti, e quindi la probabilità di allargare la collezione è $p_2=\frac{N-1}N$; una volta che l’album contiene due figurine, la probabilità seguente sarà $p_3=\frac{N-2}N$, ed in generale si avrà $p_n=\frac{N-n+1}N$.

Balistica viscosa

Se consideriamo il moto di un corpo soggetto alla sola forza di gravità, com’è noto si ha $\mathbf F = \mathbf F_P=m\mathbf g$ che, insieme alla seconda legge di Newton $\mathbf F = m\mathbf a$ porta a $\mathbf a=\mathbf g$. Se prendiamo un sistema di coordinate $(x,y)$ con l’asse $x$ orientato orizzontalmente e l’asse $y$ orientato verticalmente, otteniamo le equazioni $\ddot x=0$ e $\ddot y=-g$ che, insieme alle condizioni iniziali $x(0)=x_0$, $y(0)=y_0$, $\dot x(0)=v_{0,x}$ e $\dot y(0)=v_{0,y}$ portano alla soluzione$$\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+v_{0,x}\,t \\ y=y_0 + v_{0,y}\,t-\frac12 gt^2 \end{array} \right. \ \mathrm{con}\ \left\{\begin{array}{l} \dot x=v_x= v_{0,x} \\ \dot y = v_y = v_{0,y}-gt \end{array}\right.\ .$$In presenza di forze di attrito le cose, dal punto di vista matematico, si fanno più complicate

Congruenze coniche

Indagando sui tetraedri mi sono imbattuto in una curiosa “coincidenza” che, generalizzando, è riassunta nella figura a lato: prendiamo un punto $P$ nel II quadrante e un punto $Q$ nel I quadrante e tracciamo iperboli ed ellissi passanti per $P$ e $Q$, tutte con gli stessi fuochi $F_1(0,-c)$ e $F_2(0,c)$. Le quattro coniche si intersecano com­ples­si­va­men­te in $16$ punti, e tra questi scegliamo $P'$, $Q'$, $R$ e $R'$ come in figura. Ebbene, si ha $PQ=P'Q'$ e $PR=P'R'$ (vi sono anche altre congruenze “nascoste” nella figura, oltre a quelle banali legate alla riflessione rispetto ad una retta).

Astroidi

Il teorema di Pick

Prendiamo una figura poligonale non intrecciata i cui vertici giacciono in punti dove le linee verticali e orizzontali di un reticolo quadrato si intersecano.

Esiste una formula semplice per determinarne la superficie: $S=I+\frac12B-1$ dove $I$ è il numero di punti del reticolo all’interno della figura e $B$ il numero di punti del reticolo lungo il perimetro della figura.

Il quarto criterio di congruenza

Com’è noto, nella geometria euclidea esistono tre criteri di congruenza per i triangoli, ovvero tre condizioni sufficienti ad affermare che due triangoli sono congruenti. Nello specifico due triangoli sono congruenti se:

• (I) hanno congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso (LAL);
• (II) hanno congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti (ALA);
• (III) hanno congruenti i tre lati (LLL).

Un eventuale quarto criterio di congruenza dovrebbe considerare come condizione che i due triangoli abbiano gli stessi angoli interni (AAA). Ma nella geometria euclidea, una volta introdotto il postulato della parallela, si trova che esistono infiniti triangoli non congruenti con gli stessi angoli interni e quindi non può esistere un quarto criterio di congruenza.

E… nelle geometrie non euclidee, ossia dove non vale il quinto postulato? Nella geometria iperbolica e in quella sferica o ellittica due triangoli con gli stessi angoli interni sono congruenti. Nella geometria euclidea due triangoli hanno gli stessi angoli interni se e solo se hanno i lati in proporzione e sono detti simili, nelle geometrie non euclidee esistono triangoli simili, ovvero con i lati in proporzione, ma, a meno che siano congruenti, non hanno gli stessi angoli interni. I triangoli equilateri (tutti ovviamente simili fra loro), ad esempio, nella geometria iperbolica hanno angoli interni congruenti minori di $60^\circ$, e i loro lati sono tanto più grandi quanto più gli angoli interni sono piccoli, mentre nella geometria sferica i triangoli equilateri hanno angoli interni congruenti maggiori di $60^\circ$ e i loro lati sono tanto più grandi quanto più gli angoli interni sono grandi.