sabato 16 ottobre 2021

Congruenze coniche

Indagando sui tetraedri mi sono imbattuto in una curiosa “coincidenza” che, generalizzando, è riassunta nella figura a lato: prendiamo un punto $P$ nel II quadrante e un punto $Q$ nel I quadrante e tracciamo iperboli ed ellissi passanti per $P$ e $Q$, tutte con gli stessi fuochi $F_1(0,-c)$ e $F_2(0,c)$. Le quattro coniche si intersecano com­ples­si­va­men­te in $16$ punti, e tra questi scegliamo $P'$, $Q'$, $R$ e $R'$ come in figura. Ebbene, si ha $PQ=P'Q'$ e $PR=P'R'$.

mercoledì 13 ottobre 2021

Astroidi

lunedì 4 ottobre 2021

Il teorema di Pick

Prendiamo una figura poligonale non intrecciata i cui vertici giacciono in punti dove le linee verticali e orizzontali di un reticolo quadrato si intersecano.
Esiste una formula semplice per determinarne la superficie: $S=I+\frac12B-1$ dove $I$ è il numero di punti del reticolo all’interno della figura e $B$ il numero di punti del reticolo lungo il perimetro della figura.

sabato 2 ottobre 2021

Il quarto criterio di congruenza

Com’è noto, nella geometria euclidea esistono tre criteri di congruenza per i triangoli, ovvero tre condizioni sufficienti ad affermare che due triangoli sono congruenti. Nello specifico due triangoli sono congruenti se:

  • (I) hanno congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso (LAL);
  • (II) hanno congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti (ALA);
  • (III) hanno congruenti i tre lati (LLL).
Un eventuale quarto criterio di congruenza dovrebbe considerare come condizione che i due triangoli abbiano gli stessi angoli interni (AAA). Ma nella geometria euclidea, una volta introdotto il postulato della parallela, si trova che esistono infiniti triangoli non congruenti con gli stessi angoli interni e quindi non può esistere un quarto criterio di congruenza.
E… nelle geometrie non euclidee, ossia dove non vale il quinto postulato? Nella geometria iperbolica e in quella sferica o ellittica due triangoli con gli stessi angoli interni sono congruenti. Nella geometria euclidea due triangoli hanno gli stessi angoli interni se e solo se hanno i lati in proporzione e sono detti simili, nelle geometrie non euclidee esistono triangoli simili, ovvero con i lati in proporzione, ma, a meno che siano congruenti, non hanno gli stessi angoli interni. I triangoli equilateri (tutti ovviamente simili fra loro), ad esempio, nella geometria iperbolica hanno angoli interni congruenti minori di $60^\circ$, e i loro lati sono tanto più grandi quanto più gli angoli interni sono piccoli, mentre nella geometria sferica i triangoli equilateri hanno angoli interni congruenti maggiori di $60^\circ$ e i loro lati sono tanto più grandi quanto più gli angoli interni sono grandi.