Una proprietà reale ma non del tutto complessa

È noto che $(a^b)^c=a^{bc}\ \forall a,b \in \mathbb R^+,\ c\in\mathbb R$. Questa proprietà vale anche in $\mathbb C$? Consideriamo questo esempio: $$\begin{array}{l}(e^{2\pi i})^e=1^e=1,\ \textrm{ma} \\ e^{2\pi i e}=\cos(2\pi e)+i\sin(2\pi e)\simeq-0{,}19797-0{,}98021i \neq 1\end{array} $$Evidentemente in $\mathbb C$ le cose si fanno più complesse…

Mi sono chiesto: sotto quali condizioni la succitata proprietà della potenza di una potenza vale anche in $\mathbb C$ ?

Intanto dobbiamo definire univocamente la funzione potenza in $\mathbb C$. Partendo dalle funzioni analitiche $\exp(z)$ e $\ln(z)$ possiamo definire $$w^z\overset{def}{=}\exp(z\ln w)=\exp[z(\ln |w|+i\arg w)]\textrm{ con }\arg w \in (-\pi,\pi]\ .$$Questa è la scelta fatta, ad esempio, dal software Mathematica. Questa definizione non è l’unica possibile, perché si potrebbero scegliere altri intervalli per $\arg w$, in ogni caso è una estensione della definizione di potenza la cui restrizione su $\mathbb R$ coincide con quella di potenza con esponente reale di un numero reale positivo.

Sia $z=x+iy$: si ha$$w^z=\exp(z \ln w)=\exp[(x+iy)(\ln |w|+i\arg w)]=\\=\exp[(x\ln|w|-y\arg w)+i(x\arg w+y\ln|w|)]\ .\tag{1}$$Confrontiamo ora $(w^z)^a$ con $w^{az}$, dove $a\in\mathbb C$: si ha $(w^z)^a=\exp[a\ln(w^z)]$ e $w^{az}=\exp(az\ln w)$, per cui ci andiamo a confrontare $a\ln(w^z)$ con $az\ln w$. Ora, dalla $(1)$ otteniamo che $\ln|w^z|=x\ln|w|-y\arg w$, mentre si avrà $\arg(w^z)=x\arg w+y\ln|w|+2n\pi$, dove $n\in\mathbb Z$ è scelto in modo tale che si abbia $x\arg w+y\ln|w|+2n\pi\in(-\pi,\pi]$.

Dobbiamo allora confrontare

$a\ln(w^z)=a(x\ln|w|-y\arg w)+ia(x\arg w+y\ln|w|+2n\pi)$ con

$a(x+iy)(\ln|w|+i\arg w)=a(x\ln|w|-y\arg w)+ia(x\arg w+y\ln|w|)$ .

Affinché si abbia $(w^z)^a=w^{az}$ le due quantità devono essere uguali o differire di $2k\pi i$ dove $k\in\mathbb Z$, il che avviene se e solo se $an\in\mathbb Z\ $, ovvero se e solo se si verifica almeno una delle seguenti condizioni:

$1)$ $n=0\iff x\arg w+y\ln|w|\in(-\pi,\pi]$ ,

$2)$ $a \in \mathbb Q \ \land \ an\in \mathbb Z$ ,

$3)$ $a \in \mathbb Z$ .

Nel caso esaminato all’inizio, nessuna di queste condizioni è rispettata, infatti $x\arg w+y\ln|w|=0\cdot0+2\pi \ln e=2\pi \notin (-\pi,\pi]$, essendo $z=2\pi i\Rightarrow x=0,y=2\pi$ e $w=e$, inoltre $a=e\notin\mathbb Q \Rightarrow a\notin \mathbb Z$. La prima condizione non sarebbe rispettata comunque scegliessimo l’intervallo per l’argomento della base sotto la condizione che esso comprenda il valore $0$, indispensabile affinché la potenza definita su $\mathbb C$ abbia la restrizione su $\mathbb R$ che coincida con quella di potenza con esponente reale di un numero reale positivo, ed in ogni caso si potrebbero sempre scegliere opportunamente $w$ e $z$ in modo che la quantità $x\arg w+y\ln|w|$ non ricada nell’intervallo scelto.

Se $a\in\mathbb R$ possiamo osservare che vale comunque la proprietà $|(w^z)^a|=|w^{az}|$, ma se $a\in\mathbb C\setminus \mathbb R$ in generale questo non è vero, ad esempio $|(e^{2\pi i})^i|=|1^i|=|1|=1$ ma $|e^{2\pi i\cdot i}|=|e^{-2\pi}|=e^{-2\pi}\neq1$.