Una interessante equazione funzionale

In un fantastico gruppo facebook, Matematica & Aneddoti, mi sono imbattuto in questa equazione funzionale: $$f(x-y)f(x+y)=[f(x)-f(y)][f(x)+f(y)]=f(x)^2-f(y)^2\ .$$

Possiamo determinare subito alcune caratteristiche delle soluzioni di questa equazione:

1. Se $f(x)$ è soluzione, allora lo è anche $A f(x)$;
2. Se $f(x)$ è soluzione, allora lo è anche $f(\lambda x)$;
3. $f(0)=0$, infatti ponendo $x=y=0$ otteniamo $f(0)^2=0\Rightarrow f(0)=0$;
4. La funzione $f$ è dispari, infatti, ponendo $x=0$ otteniamo $f(-y)f(y)=-f(y)^2$ per cui se $f(y)\neq0$ allora $f(-y)=f(y)$, e questo vale anche se $f(y)=0$, infatti si ha analogamente $f(y)f(-y)=-f(-y)^2$ che insieme all’uguaglianza  precedente $f(-y)f(y)=-f(y)^2$ implica $f(y)^2=f(-y)^2$, pertanto se $f(y)=0$ si ha anche $f(-y)=0$.

Restringo la ricerca delle soluzioni alle funzioni analitiche di variabile complessa.

Pongo $x=z$ e $y=\varepsilon$ ottenendo $f(z-\varepsilon)f(z+\varepsilon)=f(z)^2-f(\varepsilon)^2$. Sviluppando in serie fino al second’ordine si ha:$$\left[f(z)-\varepsilon f'(z)+\frac12 \varepsilon^2 f''(z)\right]\left[f(z)+\varepsilon f'(z)+\frac12 \varepsilon^2 f''(z)\right]=f(z)^2-\varepsilon^2 f'(0)^2\ .$$Svolgendo il prodotto e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al secondo otteniamo$$f(z)^2+\varepsilon^2f(z)f''(z)-\varepsilon^2f'(z)^2=f(z)^2-\varepsilon^2f'(0)^2\tag{1}$$e semplificando, dividendo per $\varepsilon^2$ e trasportando otteniamo$$f(z)f''(z)=f'(z)^2-f'(0)^2\ .$$Deriviamo entrambi i membri dell’uguaglianza ottenendo$$f'(z)f''(z)+f(z)f'''(z)=2f'(z)f''(z) \Rightarrow f(z)f'''(z)=f'(z)f''(z)\ .\tag{2}$$Ora, nell’ipotesi in cui $f(z)\neq0$, poiché$$\left[\frac{f''(z)}{f(z)}\right]'=\frac{f'''(z)f(z)-f''(z)f'(z)}{f(z)^2}\, $$dalla $(1)$ segue $\dfrac{f''(z)}{f(z)}\equiv \lambda \in \mathbb C$ ovvero $f''(z)\equiv\lambda f(z)$.

Se invece si avesse per un certo valore $z_0$ che $f(z)=0$, allora, derivando la $(2)$ otteniamo$$f'(z)f'''(z)+f(z)f''''(z)=f''(z)^2+f'(z)f'''(z)\ \Rightarrow f''(z)^2=f(z)f''''(z)$$ e quindi se $f(z_0)=0$ anche $f''(z_0)=0$ e dunque anche per $z=z_0$ si avrebbe $f''(z)=\lambda f(z)$.

Se $\lambda=0$, tenendo conto del fatto che la soluzione deve essere dispari abbiamo la soluzione $f(z)=Cz$. Se $\lambda\neq0$ l’equazione differenziale ha come basi dello spazio delle soluzioni $f_1(z)=e^{z \sqrt\lambda}$ e $f_2(z)=e^{-z \sqrt\lambda}$ ma, poiché la soluzione dell’equazione funzionale di partenza deve essere dispari, la soluzione deve essere del tipo $f(z)=C \sinh (z\sqrt\lambda)$. In ambito reale le soluzioni possibili sono $$\left\{\begin{array}{l}f_r(x)=C x\ ,\\ f_{sh}(x)=C \sinh(a x)\quad \mathrm{e}  \\ f_s(x)=C\sin(ax)=-iC\sinh(iax)\end{array}\right. \ . $$

Verifichiamo che in effetti le soluzioni trovate soddisfano l’equazione funzionale: per quanto riguarda $f_r(x)$ la verifica è banale, per quanto riguarda $f_{sh}(x)$ (poniamo per semplicità i fattori $C$ e $a$ uguali a $1$) abbiamo:$$f_{sh}(x-y)f_{sh}(x+y)=\sinh(x-y)\sinh(x+y)=\\=(\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y)(\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y)=\\=\sinh^2 x \cosh^2 y-\cosh^2 x\sinh^2 y=\sinh^2 x (1+\sinh^2 y)-(1+\sinh^2 x)\sinh^2 y=\\=\sinh^2 x+\sinh^2 x\sinh^2 y-\sinh^2 y-\sinh^2 x\sinh^2 y=\\=\sinh^2 x-\sinh^2 y=f_{sh}(x)^2-f_{sh}(y)^2\ .$$

Similmente per quanto riguarda $f_s(x)$ abbiamo:$$f_s(x-y)f_s(x+y)=\sin(x-y)\sin(x+y)=\\=(\sin x\cos y-\cos x\sin y)(\sin x\cos y+\cos x\sin y)=\\=\sin^2 x \cos^2 y-\cos^2 x\sin^2 y=\sin^2 x (1-\sin^2 y)-(1-\sin^2 x)\sin^2 y=\\=\sin^2 x-\sin^2 x\sin^2 y-\sin^2 y+\sin^2 x\sin^2 y=\\=\sin^2 x-\sin^2 y=f_s(x)^2-f_s(y)^2\ .$$