martedì 28 settembre 2021

Π come πisano

Nell’articolo del 1986 A New Formula for $\pi$, il matematico dell’allora Unione Sovietica Jurij Vladímirovič Matijasévič (Ю́рий Влади́мирович Матиясе́вич) presentò un limite che lega la serie di Fibonacci (alias Leonardo Pisano) a $\pi$. Il limite è il seguente:$$\pi=\lim_{n\to\infty}\sqrt\frac{6 \log \operatorname{fcm}(F_1,F_2,\ldots,F_n)}{\log \operatorname{mcm}(F_1,F_2, \ldots,F_n)} \tag{1}$$dove $ \operatorname{fcm}$ sta per “formale comune multiplo” e $ \operatorname{mcm}$ per “minimo comune multiplo”. Il “formale comune multiplo” non è altro che il semplice prodotto di tutti i termini, introdotto per rendere una certa simmetria fra numeratore e denominatore (i matematici in genere amano molto l’estetica delle formule), mentre $F_1,F_2$, eccetera sono i numeri di Fibonacci. La base dei logaritmi è irrilevante, essendo il rapporto fra i logaritmi di due numeri indipendente dalla base scelta per i logaritmi, in base alla identità $\log_b x=\dfrac{\log_a x}{\log_a b}$.
Il limite in $(1)$ è strettamente legato a questa proprietà dei numeri di Fibonacci: ogni numero primo $p$ è fattore di qualche numero di Fibonacci  (in realtà, di un’infinità), inoltre, definendo $r(p)$ come il rango di apparizione di $p$, ovvero il più piccolo indice positivo $n$ per cui $p$ divide $F_n$, si ha che $p$ divide $F_n$ se e solo se $r(p)$ divide $n$. Ad esempio $r(13)=7$ poiché il più piccolo indice per cui $13$ divide $F_n$ è $7$ e $F_7=13$, $F_{14}=377$, $F_{21}=10946$, ecc. sono multipli di $13$, e i numeri di Fibonacci con indice positivo multiplo di $7$ sono tutti e soli i numeri di Fibonacci multipli di $13$. I ranghi di apparizione sono elencati nella sequenza OEIS A001602 che contiene tutti i numeri naturali positivi tranne $1$, $2$, $6$ e $12$.
Questa proprietà, e quindi il limite in $(1)$, continua a valere se al posto di $F_n$ sostituiamo una successione $S_n$ che abbia le seguenti proprietà: $S(0)=0$, $S(1)=1$, $S(n+1)=c\cdot S(n)\pm S(n-1)$.
Possiamo riscrivere la $(1)$ in questo modo:$$\lim_{n\to\infty}\frac{\log \left( \displaystyle\ \prod_{k=1}^n F_k\right )}{\log \operatorname{mcm}(F_1,F_2,\ldots,F_n)}=\frac{\pi^2}6\ .\tag{2}$$La dimostrazione del limite è al di fuori delle mie competenze, per cui rimando gli interessati alla lettura dell’articolo di Matijasevič. Da parte mia, similmente a quanto visto in questo post, ho cercato di vedere quanto rapidamente converga la successione. Per semplificare le cose ho definito la successione $a_n$ in questo modo: $$a_n=\frac6{\pi^2} \frac{\log \left( \displaystyle\ \prod_{k=1}^n F_k\right )}{\log \operatorname{mcm}(F_1,F_2,\ldots,F_n)}\ ,$$così da avere $\displaystyle {\lim_{n\to\infty} a_n=1}$.
Ho portato l’elaborazione fino a $n=100.000$ dove $a_n=0{,}99997155\ldots$, $F_n\simeq 2{,}597\times 10^{20.898}$, la produttoria dei numeri di Fibonacci vale circa $1{,}661\times 10^{1.044.913.702}$, e il minimo comune multiplo vale circa $1{,}093\times 10^{635.249.430}$.
La serie converge lentamente a $1$, oscillando ma mantenendosi sempre sotto al limite, e mediamente $(1-a_n)\simeq 3/n$.


Usando al posto della successione di Fibonacci la successione di Lucas, definita da $L_0=2$, $L_1=1$, $L_{n+1}=L_n+L_{n-1}$, il limite in $(2)$ “sperimentalmente” pare essere $\pi^2/8$, raggiunto però oscillando sopra e sotto il valore limite.
Nello stesso articolo è riportato un altro legame, più semplice da dimostrare, fra i numeri di Fibonacci e $\pi$, attraverso la sommatoria $\sum_n (1/\arctan F_{2n+1})$. Per arrivare al calcolo della sommatoria viene menzionata ma non dimostrata una particolare identità, e sebbene abbia trovato più di un modo per dimostrarla, quello che ho trovato più semplice fa ricorso ai numeri complessi: $$\arctan F_{2n+2}-\arctan F_{2n} = \arg (1+i\cdot F_{2n+2})-\arg(1+i\cdot F_{2n})= \\ = \arg(1 +i\cdot F_{2n+2})+\arg(1-i\cdot F_{2n})=\arg[(1+i\cdot F_{2n+2})(1-i \cdot F_{2n} )] = \\ = \arg[(1+F_{2n+2}\cdot F_{2n})+i(F_{2n+2}-F_{2n})]=\arg [(F_{2n+1})^2 +i\cdot F_{2n+1}]=\arctan \frac1{F_{2n+1}}\ ,$$dove ho fatto uso della identità di Cassini (enunciata quasi cinque secoli dopo l’introduzione dei numeri di Fibonacci!) $F_{k+1}\cdot F_{k-1}=(F_k)^2+(-1)^k$.
L’identità trovata permette di rendere telescopica e calcolare la sommatoria: $$\sum_{n=0}^\infty \arctan \frac1{F_{2n+1}} =\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \arctan\frac1{F_{2k+1}} =\\= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\left(\arctan F_{2k+2}-\arctan F_{2k}\right) =\lim_{n\to\infty}\arctan F_{2n+2}-\require{cancel} \cancel{\arctan F_0}^{=0} = \\ = \lim_{x\to+\infty} \arctan x=\frac\pi2\ .$$Trafficando con questa serie ne ho trovata casualmente un’altra, non legata a $\pi$, ma ugualmente interessante, ovvero la serie $\sum_n (1/\arctan F_{4n+1})$. Anche qui, per renderla telescopica e calcolarla è prima necessario dimostrare una identità:$$\arctan\frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}}-\arctan\frac{F_{2n}}{F_{2n-1}}=\arg(F_{2n+1}+i\cdot F_{2n+2})-\arg(F_{2n-1}+i\cdot F_{2n})= \\ = \arg(F_{2n+1}+i\cdot F_{2n+2})+\arg(F_{2n-1}-i\cdot F_{2n})=\arg[(F_{2n+1}+i\cdot F_{2n+2})(F_{2n-1}-i\cdot F_{2n})]=\\=\arg[(F_{2n+1}\cdot F_{2n-1}+F_{2n+2}\cdot F_{2n})+i\ (F_{2n+2}\cdot F_{2n-1}-F_{2n+1}\cdot F_{2n})]=\\=\arg[F_{4n+1}+i\cdot (-1)^{2n+1} F_1\cdot F_{-2}] = \arg (F_{4n+1} + i) = \arctan \frac1{F_{4n+1}}, $$dove sono state utilizzate le identità $F_i \cdot F_j+F_{i-1}\cdot F_{j-1}=F_{i+j-1}$ e $F_{i+j}\cdot F_{i+k}-F_{i}\cdot F_{i+j+k}=(-1)^i F_j\cdot F_k$ (identità di Vajda).
Si ha quindi: $$\sum_{n=0}^\infty \arctan \frac1{F_{4n+1}} =\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \arctan\frac1{F_{4k+1}} =\\= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\left(\arctan \frac{F_{2k+2}}{F_{2k+1}}-\arctan \frac{F_{2k}}{F_{2k-1}}\right) =\lim_{n\to\infty}\arctan \frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}}-\cancel{\arctan \frac{F_0}{F_{-1}}}^{=0} = \\ = \arctan\lim_{n\to\infty} \frac{F_{2n+2}}{F_{2n+1}}=\arctan\varphi\ .$$




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