L’algoritmo Chudnovsky

I fratelli David (1947-) e Gregory (1952-) Chudnovsky (Чудновский), nati a Kiev nell’allora URSS (oggi Ucraina) pubblicarono nel 1989 un articolo dove venne presentata una serie rapidamente convergente che consente di calcolare $\pi$: $$\frac1{\pi}=12\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^3(640320^3)^{k+1/2}}\ .\tag{1}$$Chiamando $S_n$ il secondo membro della $(1)$ con la serie sviluppata per $k$ che va da $0$ a $n$ si ha, sviluppando con $100$ cifre decimali dopo la virgola: $$1/S_0=3{,}1415926535897\color{red}{342076684535915782983407622332609157065908941454987376662094016591080661173474696897577\ldots}\\ 1/S_1=3{,}141592653589793238462643383\color{red}{5873506884758663459963743156549058068013014505652035911058309102192909290\ldots}\\ 1/S_2=3{,}14159265358979323846264338327950288419716\color{red}{76788548462879127277903706429773351769587269229114953737970\ldots}\\ 1/S_3=3{,}1415926535897932384626433832795028841971693993751058209\color{red}{849474080206624527897173463641036223211019081\ldots}\\ 1/S_4=3{,}141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816\color{red}{3466946902477172681652391560110\ldots}\\ 1/S_5=3{,}141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628\color{red}{3957321948318671\ldots}\\ 1/S_6=3{,}14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706\color{red}{57\ldots}\\ 1/S_7=3{,}1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679\ldots\\$$dove ho evidenziato in rosso i decimali non corretti. La serie è un esempio di serie di Ramanujan-Sato, generalizzazione delle serie di $\pi$ scoperte da Ramanujan. I termini della serie “nascondono” alcune particolarità numeriche, ad esempio $e^{\pi\sqrt{163}}=640320^3+743{,}99999999999925007\ldots$, e $545140134$ è un multiplo di $163$.
Da notare come la serie parta con lo sprint e già col solo primo addendo approssimi $\pi$ con ben $14$ cifre corrette!

Dal 2009 ad oggi i record di calcolo delle cifre di $\pi$ sono stati raggiunti grazie all’algoritmo Chudnovsky: dai $2{,}7$ mila miliardi di cifre nel 2009 al recente record (agosto 2021, in attesa di verifica) di $20\pi\simeq62{,}8$ mila miliardi di cifre di $\pi$. Mediamente ogni termine della serie aggiunge $\log_{10}(640320^3/12^3)\simeq14{,}2$ cifre decimali corrette in più al risultato, quindi, per ottenere l’ultimo record, la serie è stata calcolata per circa $4{,}43$ mila miliardi di termini.

Entrambi matematici, nel 1977 i fratelli Chudnovsky emigrarono negli USA dove ora sono entrambi docenti alla New York University Tandon School of Engineering.

Per l’articolo originale dei fratelli Chudnovsky cliccate qui.

Da sinistra, i fratelli David e Gregory Chudnovsky