mercoledì 15 settembre 2021

Il triangolo no! e invece sì!! (1/4)

Siano $x$, $y$ e $z$ tre variabili aleatorie indipendenti con distribuzione uniforme nell’intervallo $(0,1)$. Qual è la probabilità che esista un triangolo con i lati che misurino $x$, $y$ e $z$ ?
Possiamo, senza perdere di generalità, supporre che si abbia $z\leq y\leq x$. Un triangolo con lati di misura $x$, $y$ e $z$ esiste se e solo se sono soddisfatte le disuguaglianze triangolari $x<y+z$, $y<z+x$ e $z<x+y$. Poiché abbiamo supposto $z\leq y\leq x$, la seconda e terza disuguaglianza sono automaticamente soddisfatte. Definendo gli insiemi $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\ | \ z\leq y\leq x\}$ e $T=\{(x,y,z)\in S\ | \ x<y+z\}$, la probabilità sarà $\,p=\dfrac{V_T}{V_S}$ dove $V_T$ e $V_S$ indicano le misure (in questo caso i volumi), rispettivamente di $T$ e di $S$.
Per calcolare questi volumi possiamo usare gli integrali oppure utilizzare un approccio geometrico.

Calcolo attraverso integrali
Si ha: $$V_S = \int_0^1\!\!dx\int_0^x\!\!dy\int_0^y\!\!dz = \int_0^1\!\!dx\int_0^x\!\!y\ dy = \int_0^1\!\frac12x^2 dx= \frac16\ .$$Riguardo all’insieme $T$, si avrà $x-y<z\leq y$ che comporta per $y$ la condizione $y>x/2$. Si ha dunque:$$V_T=\int_0^1\!\!dx\int_{x/2}^x\!\!dy\int_{x-y}^y\!dz= \int_0^1\!\!dx\int_{x/2}^x\!\!(2y-x)dy=\int_0^1\!\!\Big[y^2-xy\Big]^{y=x}_{y=x/2}\ dx = \\ = \int_0^1\!\!\left[\left(x^2-x^2\right)-\left(\frac14x^2-\frac12x^2\right)\right]dx=\int_0^1\!\frac14x^2\ dx=\frac1{12}\ ,$$e dunque $p=\dfrac{V_T}{V_S}=\dfrac{1/6}{1/12}=\dfrac12$.

Calcolo con approccio geometrico
L’insieme $S$ corrisponde alla piramide che ha per base il triangolo di vertici $(0,0,0)$, $(1,0,0)$ e $(1,1,0)$ e per vertice il punto $(1,1,1)$.
L’area della base è dunque $A_b=1/2$ e l’altezza $h=1$ e dunque si ha $V_S=\dfrac13 A_b\cdot h=\dfrac16$. L’insieme $T$ corrisponde alla parte di $S$ che si trova sopra al piano di equazione $z=x-y$. Come si vede, l’insieme $S\setminus T$ corrisponde ad una piramide con la stessa base della piramide corrispondente a $S$, ma con altezza pari a $h'=\dfrac12$. L’insieme $S\setminus T$ ha dunque volume pari a $\dfrac1{12}$ e quindi la piramide corrispondente all’insieme $T$ ha volume $V_T=\dfrac16-\dfrac1{12}=\dfrac1{12}$. Riotteniamo, dunque, come previsto, gli stessi valori ricavati prima più laboriosamente con il calcolo integrale (beh, però anche ricostruire le figure in tre dimensioni ha avuto la sua laboriosità!).

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