Coniche che rotolano

Alcune animazioni… quando un’ellisse rotola su un’ellisse congruente come mostrato nel video, i fuochi dell’ellisse mobile descrivono due circonferenze di raggio $2a$ pari alla somma costante delle distanze dei punti delle ellissi dai rispettivi fuochi (questo si capisce osservando attentamente il secondo video). Ho scelto per il video ellissi con eccentricità pari al reciproco del rapporto aureo ($\varepsilon=1/\varphi$), così che la distanza focale è la sezione aurea del semiasse maggiore. Questo comporta fra l’altro che il semiasse maggiore sta al semiasse minore come il semiasse minore sta alla distanza focale, la qual cosa comporta a sua volta che il raggio di curvatura dell’ellisse nei vertici lungo l’asse maggiore sia pari alla distanza focale. E comporta anche che il triangolo che vedete nella seconda figura dopo i due video è rettangolo, ha il cateto minore che è la sezione aurea dell’ipotenusa, e l’ipotenusa sta al cateto maggiore come il cateto maggiore sta al cateto minore (la dimostrazione di tutte queste proprietà è lasciata come semplice esercizio per i lettori…)

Potremmo chiamare una tale ellisse “ellisse aurea” ? In effetti, ho scoperto, tramite Aldo Scimone, che ringrazio, che questa è una possibile definizione di ellisse aurea, quella data da Jagat Narain Kapur in “The golden ellipse”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 18 (2) (1987) pp. 205-214. L’articolo scritto da Aldo Scimone è consultabile liberamente a questo link. L’altra possibile definizione è quella che considera l’ellisse con i semiassi in rapporto aureo fra loro.

Quando una parabola rotola su una parabola congruente, come mostrato nel video, il fuoco della parabola mobile descrive una retta, e non una retta qualunque, bensì la direttrice della parabola fissa (questo si capisce osservando attentamente il secondo video, e ricordando come si costruisce geometricamente la tangente alla parabola in un suo punto), la quale è anche la sua ortottica, ovvero l’insieme dei punti che “vedono” la parabola sotto un angolo retto.

Quando un ramo d’iperbole rotola su un ramo d’iperbole congruente, come mostrato nel video, i fuochi dell’iperbole mobile descrivono archi di circonferenza di raggio pari a $2a$ pari al modulo costante della differenza delle distanze dei punti delle iperboli dai rispettivi fuochi (questo si capisce osservando attentamente il secondo video). Per il video ho scelto un ramo di iperbole equilatera (eccentricità $e=\sqrt2$) e in questo caso i due archi di circonferenza racchiudono una figura simile ad un sole parzialmente eclissato.

 

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