“A useless but beautiful formula involving the golden ratio and i” by G. S.
Ho trovato questa identità in un post di un gruppo facebook e mi è venuta voglia di approfondire.
Andiamo sul piano complesso, tracciamo il cerchio unitario centrato nell’origine e disegniamo un decagono regolare inscritto al cerchio come in figura: il segmento $AB$ è perpendicolare all’asse reale, che lo biseca. Il triangolo $AOB$ è isoscele sulla base $AB$, e poiché l’angolo $A\widehat OB$ è un decimo di un angolo giro, ovvero 36°, gli angoli alla base, essendo uguali ed essendo tali che sommati all’angolo $A\widehat OB$ devono dare un angolo piatto, sono di $(180^\circ-36^\circ)/2=72^\circ$.
Tracciamo ora la bisettrice dell’angolo interno $\widehat B$, che incontra il lato $OA$ in $C$. L’angolo $B\widehat CA$ è di $180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ$. Si vengono a formare i triangoli $OCB$, isoscele sulla base $OB$ in quanto $C\widehat OA=C\widehat B A=36^\circ$ e $ABC$, isoscele sulla base $AC$ in quanto $B\widehat AC=B\widehat CA=72^\circ$. Si ha dunque $OC=CB=AB$. I triangoli $ABO$ e $CAB$ hanno gli stessi angoli interni e pertanto sono simili ed hanno i lati in proporzione, ed in particolare si ha: $OB:AB=AB:AC$, e poiché $OC=AB$ e $OB=OA$ si ha $OA:OC=OC:AC$. Il segmento $OC$, medio proporzionale fra $OA$ e $OA-OC$ è dunque la sezione aurea del segmento $OA$. Avendosi $OA=1$, indicando con $x$ la lunghezza di $OC$ ed essendo dunque $1-x$ la lunghezza del segmento $AC$, si ha $1:x=x:(1-x)$ che, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi), si trasforma nell’equazione $x^2=1-x$ ovvero $x^2+x-1=0$ che ha come soluzione positiva $x=\dfrac{\sqrt5-1}2=\dfrac1\varphi$ dove $\varphi=\dfrac{\sqrt5+1}2$ è il rapporto aureo. Il segmento $AB$ ha dunque lunghezza $\dfrac1\varphi$. Il punto $A$ è associato ad un numero complesso di modulo pari alla lunghezza di $OA$, ovvero $1$, e di argomento pari all’angolo formato da $OA$ con l’asse reale, che è la metà di $36^\circ$, ovvero $18^\circ=\pi/10$. Al punto $A$ è dunque associato il numero complesso $e^{i\pi/10}=\cos(\pi/10)+i\sin(\pi/10)$. La lunghezza di $AB$ è il doppio di $\sin(\pi/10)$ e dunque $\operatorname{Im} e^{i\pi/10}=\dfrac{AB}{2}=\dfrac1{2\varphi}$. Ricordando che $\varphi^2=\varphi+1$ e $\dfrac1\varphi=\varphi-1$, si avrà $$\operatorname{Re} e^{i\pi/10}=\cos(\pi/10)=\sqrt{1-\sin^2(\pi/10)}=\sqrt{1-\frac1{4\varphi^2}}= \\ = \sqrt{1-\frac{(\varphi-1)^2}4}=\frac{\sqrt{4-(\varphi^2-2\varphi+1)}}2= \frac{\sqrt{3-\varphi^2+2\varphi}}2=\\=\frac{\sqrt{3-\varphi-1+2\varphi}}2 =\frac{\sqrt{2+\varphi}}2\ ,$$e quindi$$\left(\frac{\sqrt{2+\varphi}}2+\frac{i}{2\varphi}\right)^5=\left(e^{i\pi/10}\right)^5=e^{i\pi/2}=i\ .$$
Tracciamo ora la bisettrice dell’angolo interno $\widehat B$, che incontra il lato $OA$ in $C$. L’angolo $B\widehat CA$ è di $180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ$. Si vengono a formare i triangoli $OCB$, isoscele sulla base $OB$ in quanto $C\widehat OA=C\widehat B A=36^\circ$ e $ABC$, isoscele sulla base $AC$ in quanto $B\widehat AC=B\widehat CA=72^\circ$. Si ha dunque $OC=CB=AB$. I triangoli $ABO$ e $CAB$ hanno gli stessi angoli interni e pertanto sono simili ed hanno i lati in proporzione, ed in particolare si ha: $OB:AB=AB:AC$, e poiché $OC=AB$ e $OB=OA$ si ha $OA:OC=OC:AC$. Il segmento $OC$, medio proporzionale fra $OA$ e $OA-OC$ è dunque la sezione aurea del segmento $OA$. Avendosi $OA=1$, indicando con $x$ la lunghezza di $OC$ ed essendo dunque $1-x$ la lunghezza del segmento $AC$, si ha $1:x=x:(1-x)$ che, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi), si trasforma nell’equazione $x^2=1-x$ ovvero $x^2+x-1=0$ che ha come soluzione positiva $x=\dfrac{\sqrt5-1}2=\dfrac1\varphi$ dove $\varphi=\dfrac{\sqrt5+1}2$ è il rapporto aureo. Il segmento $AB$ ha dunque lunghezza $\dfrac1\varphi$. Il punto $A$ è associato ad un numero complesso di modulo pari alla lunghezza di $OA$, ovvero $1$, e di argomento pari all’angolo formato da $OA$ con l’asse reale, che è la metà di $36^\circ$, ovvero $18^\circ=\pi/10$. Al punto $A$ è dunque associato il numero complesso $e^{i\pi/10}=\cos(\pi/10)+i\sin(\pi/10)$. La lunghezza di $AB$ è il doppio di $\sin(\pi/10)$ e dunque $\operatorname{Im} e^{i\pi/10}=\dfrac{AB}{2}=\dfrac1{2\varphi}$. Ricordando che $\varphi^2=\varphi+1$ e $\dfrac1\varphi=\varphi-1$, si avrà $$\operatorname{Re} e^{i\pi/10}=\cos(\pi/10)=\sqrt{1-\sin^2(\pi/10)}=\sqrt{1-\frac1{4\varphi^2}}= \\ = \sqrt{1-\frac{(\varphi-1)^2}4}=\frac{\sqrt{4-(\varphi^2-2\varphi+1)}}2= \frac{\sqrt{3-\varphi^2+2\varphi}}2=\\=\frac{\sqrt{3-\varphi-1+2\varphi}}2 =\frac{\sqrt{2+\varphi}}2\ ,$$e quindi$$\left(\frac{\sqrt{2+\varphi}}2+\frac{i}{2\varphi}\right)^5=\left(e^{i\pi/10}\right)^5=e^{i\pi/2}=i\ .$$
In questa identità complessa sono dunque “condensate” proprietà del decagono regolare e del rapporto aureo. Il campo $\mathbb C$omplesso non finisce mai di stupirmi…
Possiamo anche vedere che $$e^{i\pi/5}=\left(\frac{\sqrt{2+\varphi}}2 + \frac{i}{2\varphi}\right)^2 = \frac{2+\varphi}4-\frac1{4\varphi^2}+2\frac{\sqrt{2+\varphi}}2\frac{i}{2\varphi}=\\=
\frac{2+\varphi-(\varphi-1)^2}4+i\ \sqrt{\frac{1}{2\varphi^2}+\frac1{4\varphi}}=\\
=\frac{2+\varphi-\varphi^2+2\varphi-1}4+i\ \sqrt{\frac{(\varphi-1)^2}2+\frac{\varphi-1}4}=
\\=\frac{1+3\varphi-(\varphi+1)}{4}+i\ \sqrt{\frac{2\varphi^2-4\varphi+2+\varphi-1}4}=\\
=\frac{2\varphi}{4}+i\ \frac{\sqrt{2\varphi+2-3\varphi+1}}2=\frac{\varphi}{2}+i\ \frac{\sqrt{3-\varphi}}{2}$$e quindi si ha anche$$\left(\frac{\varphi}{2}+i\ \frac{\sqrt{3-\varphi}}{2}\right)^5=\left(e^{i\pi/5}\right)^5=e^{i\pi}=-1\ .$$
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