Π come πisano

Nell’articolo del 1986 A New Formula for $\pi$, il matematico dell’allora Unione Sovietica Jurij Vladímirovič Matijasévič (Ю́рий Влади́мирович Матиясе́вич) presentò un limite che lega la serie di Fibonacci (alias Leonardo Pisano) a $\pi$. Il limite è il seguente:$$\pi=\lim_{n\to\infty}\sqrt\frac{6 \log \operatorname{fcm}(F_1,F_2,\ldots,F_n)}{\log \operatorname{mcm}(F_1,F_2, \ldots,F_n)} \tag{1}$$dove $ \operatorname{fcm}$ sta per “formale comune multiplo” e $ \operatorname{mcm}$ per “minimo comune multiplo”. Il “formale comune multiplo” non è altro che il semplice prodotto di tutti i termini, introdotto per rendere una certa simmetria fra numeratore e denominatore (i matematici in genere amano molto l’estetica delle formule), mentre $F_1,F_2$, eccetera sono i numeri di Fibonacci. La base dei logaritmi è irrilevante, essendo il rapporto fra i logaritmi di due numeri indipendente dalla base scelta per i logaritmi, in base alla identità $\log_b x=\dfrac{\log_a x}{\log_a b}$.

Il triangolo no! e invece sì!! (4/5)

Ovvero: tetraedri, che passione!

Generalizziamo ulteriormente, stavolta però facciamo un salto di dimensione, e passiamo dal triangolo al tetraedro. Prendiamo le sestuple $(x_1,x_2,\ldots,x_6)$ con $x_i\in\{1,2,\ldots,n\}$ e ci chiediamo: quante di queste sestuple hanno gli elementi tali per cui esiste un tetraedro che li abbia come lunghezze degli spigoli? Il problema risulta essere più complicato di quelli già visti. La prima complicazione sorge dal fatto che, a differenza di triangoli e poligoni, la costruibilità del tetraedro dipende dal modo in cui i sei spigoli sono connessi. Ad esempio, se abbiamo la sestupla $(1,1,1,2,2,2)$, possiamo costruire un tetraedro che abbia come base un triangolo equilatero di base $1$ e gli altri spigoli di lunghezza pari a $2$, ma non è possibile costruire un tetraedro che abbia come base un triangolo equilatero di base $2$ e gli altri spigoli di lato $1$, perché non si riesce a fare in modo che i tre spigoli di lunghezza $1$ si incontrino in un unico punto.

Se abbiamo una sestupla i cui elementi sono tutti diversi fra loro possiamo costruire $30$ tetraedri distinti, non considerando rotazioni e riflessioni.

Il triangolo no! e invece sì!! (3/5)

Siano $x_1, x_2,\ldots, x_k$ variabili aleatorie indipendenti che possono assumere con uguale probabilità i valori dell’insieme $\{1, 2, 3, …, N\}$. Qual è la probabilità $p(N,k)$ che esista un poligono di $k$ lati di lunghezza $x_1$, $x_2$,$\ldots$ $x_k$?
Vi sono $N^k$ tuple ordinate $(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ con $x_1,x_2,\ldots, x_k \in \{1, 2, 3, \ldots, N\}$, e quindi la probabilità sarà $p(N)=\dfrac{P(N,k)}{N^k}$ dove $P(N,k)$ è il numero di tuple $(x_1,x_2,\ldots, x_k)$ che soddisfano le disuguaglianze triangolari $x_1<x_2+\ldots+x_k$, $\ x_2<x_3+\ldots+x_k+x_1$ $,\ldots,$ $x_k<x_1+x_2+\ldots + x_{k-1}$. Di fatto, se $x_1,x_2,\ldots, x_{k-1}< x_k$ l’unica disuguaglianza non banale è $x_k<x_1+x_2+\ldots+x_{k-1}$.

La chiave per risolvere il problema in modo ottimale è, anche nel caso generale:

1. contare le tuple che non soddisfano tutte le disuguaglianze triangolari,
2. fra queste ultime, contare le tuple con elemento massimo fissato, che indicherò con $n$.

Il triangolo no! e invece sì!! (2/5)

Siano $x$, $y$ e $z$ tre variabili aleatorie indipendenti che possono assumere con uguale probabilità i valori dell’insieme $\{1, 2, 3, \ldots, N\}$. Qual è la probabilità che esista un triangolo con lati di lunghezza $x$, $y$ e $z$?

Vi sono $N^3$ terne ordinate $(x,y,z)$ con $x,y,z \in \{1, 2, 3, \ldots, N\}$, e quindi la probabilità sarà $p(N)=\dfrac{T(N)}{N^3}$ dove $T(N)$ è il numero di terne $(x,y,z)$ che soddisfano le disuguaglianze triangolari $x<y+z$, $\ y<z+x$, $\ z<x+y$.

Avevo trovato una dimostrazione molto ingombrante, ma un’osservazione di Diecie Cinquepa, compagno di un gruppo facebook, mi ha portato sulla giusta strada. La chiave per risolvere il problema in modo ottimale è:

1. contare le terne che non soddisfano tutte le disuguaglianze triangolari,
2. fra queste ultime, contare le terne con elemento massimo fissato, che indicherò con $n$.

Il triangolo no! e invece sì!! (1/5)

Siano $x$, $y$ e $z$ tre variabili aleatorie indipendenti con distribuzione uniforme nell’intervallo $(0,1)$. Qual è la probabilità che esista un triangolo con i lati che misurino $x$, $y$ e $z$ ?

Possiamo, senza perdere di generalità, supporre che si abbia $z\leq y\leq x$. Un triangolo con lati di misura $x$, $y$ e $z$ esiste se e solo se sono soddisfatte le disuguaglianze triangolari $x<y+z$, $y<z+x$ e $z<x+y$. Poiché abbiamo supposto $z\leq y\leq x$, la seconda e terza disuguaglianza sono automaticamente soddisfatte. Definendo gli insiemi $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\ | \ z\leq y\leq x\}$ e $T=\{(x,y,z)\in S\ | \ x<y+z\}$, la probabilità sarà $\,p=\dfrac{V_T}{V_S}$ dove $V_T$ e $V_S$ indicano le misure (in questo caso i volumi), rispettivamente di $T$ e di $S$.

Per calcolare questi volumi possiamo usare gli integrali oppure utilizzare un approccio geometrico.

Aurea immaginaria

$$\left(\frac{\sqrt{2+\varphi}}2+\frac{i}{2\varphi}\right)^5=i$$

“A useless but beautiful formula involving the golden ratio and i” by G. S.

L’algoritmo Chudnovsky

I fratelli David (1947-) e Gregory (1952-) Chudnovsky (Чудновский), nati a Kiev nell’allora URSS (oggi Ucraina) pubblicarono nel 1989 un articolo dove venne presentata una serie rapidamente convergente che consente di calcolare $\pi$: $$\frac1{\pi}=12\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^3(640320^3)^{k+1/2}}\ .\tag{1}$$Chiamando $S_n$ il secondo membro della $(1)$ con la serie sviluppata per $k$ che va da $0$ a $n$ si ha, sviluppando con $100$ cifre decimali dopo la virgola: $$1/S_0=3{,}1415926535897\color{red}{342076684535915782983407622332609157065908941454987376662094016591080661173474696897577\ldots}\\ 1/S_1=3{,}141592653589793238462643383\color{red}{5873506884758663459963743156549058068013014505652035911058309102192909290\ldots}\\ 1/S_2=3{,}14159265358979323846264338327950288419716\color{red}{76788548462879127277903706429773351769587269229114953737970\ldots}\\ 1/S_3=3{,}1415926535897932384626433832795028841971693993751058209\color{red}{849474080206624527897173463641036223211019081\ldots}\\ 1/S_4=3{,}141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816\color{red}{3466946902477172681652391560110\ldots}\\ 1/S_5=3{,}141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628\color{red}{3957321948318671\ldots}\\ 1/S_6=3{,}14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706\color{red}{57\ldots}\\ 1/S_7=3{,}1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679\ldots\\$$dove ho evidenziato in rosso i decimali non corretti.

Una proprietà reale ma non del tutto complessa

È noto che $(a^b)^c=a^{bc}\ \forall a,b \in \mathbb R^+,\ c\in\mathbb R$. Questa proprietà vale anche in $\mathbb C$? Consideriamo questo esempio: $$\begin{array}{l}(e^{2\pi i})^e=1^e=1,\ \textrm{ma} \\ e^{2\pi i e}=\cos(2\pi e)+i\sin(2\pi e)\simeq-0{,}19797-0{,}98021i \neq 1\end{array} $$Evidentemente in $\mathbb C$ le cose si fanno più complesse…

Mi sono chiesto: sotto quali condizioni la succitata proprietà della potenza di una potenza vale anche in $\mathbb C$ ?

Coniche che rotolano

Alcune animazioni… quando un’ellisse rotola su un’ellisse congruente come mostrato nel video, i fuochi dell’ellisse mobile descrivono due circonferenze di raggio $2a$ pari alla somma costante delle distanze dei punti delle ellissi dai rispettivi fuochi (questo si capisce osservando attentamente il secondo video). Ho scelto per il video ellissi con eccentricità pari al reciproco del rapporto aureo ($\varepsilon=1/\varphi$), così che la distanza focale è la sezione aurea del semiasse maggiore. Questo comporta fra l’altro che il semiasse maggiore sta al semiasse minore come il semiasse minore sta alla distanza focale, la qual cosa comporta a sua volta che il raggio di curvatura dell’ellisse nei vertici lungo l’asse maggiore sia pari alla distanza focale. E comporta anche che il triangolo che vedete nella seconda figura dopo i due video è rettangolo, ha il cateto minore che è la sezione aurea dell’ipotenusa, e l’ipotenusa sta al cateto maggiore come il cateto maggiore sta al cateto minore (la dimostrazione di tutte queste proprietà è lasciata come semplice esercizio per i lettori…)

Potremmo chiamare una tale ellisse “ellisse aurea” ? In effetti, ho scoperto, tramite Aldo Scimone, che ringrazio, che questa è una possibile definizione di ellisse aurea, quella data da Jagat Narain Kapur in “The golden ellipse”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 18 (2) (1987) pp. 205-214. L’articolo scritto da Aldo Scimone è consultabile liberamente a questo link. L’altra possibile definizione è quella che considera l’ellisse con i semiassi in rapporto aureo fra loro.

Una interessante equazione funzionale

In un fantastico gruppo facebook, Matematica & Aneddoti, mi sono imbattuto in questa equazione funzionale: $$f(x-y)f(x+y)=[f(x)-f(y)][f(x)+f(y)]=f(x)^2-f(y)^2\ .$$

Possiamo determinare subito alcune caratteristiche delle soluzioni di questa equazione:

1. Se $f(x)$ è soluzione, allora lo è anche $A f(x)$;
2. Se $f(x)$ è soluzione, allora lo è anche $f(\lambda x)$;
3. $f(0)=0$, infatti ponendo $x=y=0$ otteniamo $f(0)^2=0\Rightarrow f(0)=0$;
4. La funzione $f$ è dispari, infatti, ponendo $x=0$ otteniamo $f(-y)f(y)=-f(y)^2$ per cui se $f(y)\neq0$ allora $f(-y)=f(y)$, e questo vale anche se $f(y)=0$, infatti si ha analogamente $f(y)f(-y)=-f(-y)^2$ che insieme all’uguaglianza  precedente $f(-y)f(y)=-f(y)^2$ implica $f(y)^2=f(-y)^2$, pertanto se $f(y)=0$ si ha anche $f(-y)=0$.

Restringo la ricerca delle soluzioni alle funzioni analitiche di variabile complessa.