L’11 luglio appena trascorso, durante la finale di Wimbledon Đoković-Berrettini, al primo set si è arrivati al 6-6 e si è giocato il tie-break. Se fosse stato l’ultimo set, fino al 2018 la regola sarebbe stata di andare avanti ad oltranza fino a quando un giocatore non avesse guadagnato un vantaggio di due giochi sull’altro (dal 2019 al quinto set si può arrivare fino al 12-12 ma poi si gioca il tie-break). Supponiamo di avere due giocatori che abbiano la stessa probabilità di segnare un punto: quanti punti in media verranno giocati nel tie-break? e quanti invece verrebbero giocati andando avanti ad oltranza?
Intanto chiediamoci: quanti punti vengono giocati in un
game (uso il termine inglese per evitare ripetizioni)?
Costruiamo la matrice di Markov relativa. È una matrice $20\times20$: abbiamo $18$ stati transitori e $2$ stati assorbenti. Ci interessa il numero medio $\overline n$ di passi prima che il processo, cominciato nello stato $0-0$ venga assorbito. Per $p=q=1/2$ si ha $\overline {n_g}=27/4=6{,}75$ mentre, per altri valori di $p$ e $q$, $\overline {n_g}$ oscilla fra $4$ e $6{,}75$. Se in un set si arriva ad una situazione di $6-6$ in media quanti giochi sono necessari affinché uno dei due giocatori abbia un vantaggio di due
game sull’altro? È una situazione a quella già vista in
questo post, e quindi la risposta è la stessa: mediamente sono necessari $4$
game. Quindi, giocando ad oltranza sono in genere necessari $\frac{27}4\times4$ punti, ovvero $27$ punti.
Se si gioca il tie-break, per determinare il numero medio di punti costruiamo la relativa matrice di Markov, che stavolta è $53\times53$ con $51$ stati transitori e $2$ stati assorbenti. Per $p=q=1/2$ si ha $\overline{n_t}= \frac{6013}{512} \simeq 11{,74}$ (per la cronaca, il tie-break giocato fra Đoković e Berrettini è terminato $7-4$ in favore di quest’ultimo, quindi $11$ punti giocati) mentre, per altri valori di $p$ e $q$, $\overline {n_t}$ oscilla fra $6$ e $11{,}74$ .
In media, quindi, giocare il tie-break porta ad un “risparmio” di circa $15$ punti.
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| numero medio di punti giocati in un game in funzione di $p$. |
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| numero medio di punti giocati in un tie-break in funzione di $p$. |
Se si gioca il tie-break, per determinare il numero medio di punti costruiamo la relativa matrice di Markov, che stavolta è $53\times53$ con $51$ stati transitori e $2$ stati assorbenti. Per $p=q=1/2$ si ha $\overline{n_t}= \frac{6013}{512} \simeq 11{,74}$ (per la cronaca, il tie-break giocato fra Đoković e Berrettini è terminato $7-4$ in favore di quest’ultimo, quindi $11$ punti giocati) mentre, per altri valori di $p$ e $q$, $\overline {n_t}$ oscilla fra $6$ e $11{,}74$ .
Costruiamo la matrice di Markov relativa. È una matrice $20\times20$: abbiamo $18$ stati transitori e $2$ stati assorbenti. Ci interessa il numero medio $\overline n$ di passi prima che il processo, cominciato nello stato $0-0$ venga assorbito. Per $p=q=1/2$ si ha $\overline {n_g}=27/4=6{,}75$ mentre, per altri valori di $p$ e $q$, $\overline {n_g}$ oscilla fra $4$ e $6{,}75$. Se in un set si arriva ad una situazione di $6-6$ in media quanti giochi sono necessari affinché uno dei due giocatori abbia un vantaggio di due game sull’altro? È una situazione a quella già vista in questo post, e quindi la risposta è la stessa: mediamente sono necessari $4$ game. Quindi, giocando ad oltranza sono in genere necessari $\frac{27}4\times4$ punti, ovvero $27$ punti.
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