$$\begin{array}{rl} \ln(n+1) = &1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n+ \\ & -\dfrac12\left(1 + \dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\ldots+\dfrac1{n^2} \right) + \\ & +\dfrac13\left(1+\dfrac1{2^3}+\dfrac1{3^3}+\ldots+\dfrac1{n^3} \right) + \\ & -\dfrac14\left(1+\dfrac1{2^4}+\dfrac1{3^4}+\ldots+\dfrac1{n^4}\right) + \\ & \vdots \end{array}$$
Spostando $1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n$ a sinistra e facendo tendere $n$ a infinito otteniamo
$$-\,\gamma=-\dfrac12\zeta(2)+\dfrac13\zeta(3)-\dfrac14\zeta(4)+\ldots$$ovvero$$\gamma=\sum_{n=2}^\infty\ (-1)^n\dfrac{\zeta(n)}n$$
La convergenza è molto lenta dato che $\zeta(n)\simeq1+O\left(\dfrac1{2^n}\right)$. Per ottenere $\gamma$ con una convergenza più veloce si può usare la formula equivalente $$\gamma=1-\ln2+\sum_{n=2}^\infty\ (-1)^n\ \dfrac{\zeta(n)-1}{n}\ .$$
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