Medie ibride

Se consideriamo due numeri reali positivi $a_0$ e $b_0$ e definiamo $a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}2$ e $b_{n+1}=\dfrac{2a_nb_n}{a_n+b_n}$ per ogni $n\in \mathbb N$, le successioni $a_n$ e $b_n$ tendono (ed alquanto rapidamente) a $\sqrt{a_0b_0}$. In un certo senso possiamo dire che la “media ibrida” della media aritmetica e di quella armonica coincide con quella geometrica.

Il matematico scozzese James Gregory (1638-1675), nel suo Vera circuli et hyperbolae quadratura (1667), generalizzando il procedimento di Archimede per la misura della circonferenza, e cercando di unificare la misura delle aree di settori circolari e iperbolici, introduce due successioni, $i_n$ e $I_n$ di mixtilinea inscritti e circoscritti. Dato un arco di conica, $i_0$ è l’area del triangolo inscritto che ha per lati i segmenti che congiungono gli estremi dell’arco al centro della conica e la corda corrispondente all’arco mentre $I_0$ è l’area del quadrilatero che ha per lati i segmenti che congiungono gli estremi dell’arco al centro della conica e i segmenti individuati dalle tangenti agli estremi della corda. Se la conica è un’ellisse o una circonferenza si ha $i_0<I_0$, se è un’iperbole invece si ha $i_0>I_0$.Dividendo l’arco nel punto in cui la tangente è parallela alla corda si formano due mezzi archi, e la somma delle aree dei due triangoli e quadrilateri rispettivamente inscritti e circoscritti ai due settori conici sono $i_1$ e $I_1$. Ripetendo il ragionamento si ottengono $i_2$ e $I_2$, eccetera. Gregory dimostra che $i_{n+1}=\sqrt{i_nI_n}$ e $I_{n+1}=\dfrac{2i_{n+1}I_n}{i_{n+1}I_n}$ (attenzione: $I_{n+1}$ è la media armonica di $i_{\underline{n+1}}$ e $I_n$). Le successioni $i_n$ e $I_n$ convergono all’area $I$ del settore di conica. Lasciatemi definire $I=GH(i_0,I_0)$, ovvero $I$ è la media “ibrida” di quella geometrica e di quella armonica di $i_0$ e $I_0$. La media $GH$ non è commutativa rispetto ai suoi argomenti.

Provate su un foglio elettronico a porre $i_0=2$ e $I_0=4$ e guardate a cosa corrisponde $GH(2,4)$. Come pure provate a calcolare $GH(3/4,2/3)$.

Risulta che$$GH(i_0,I_0)=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{i_0I_0}{\sqrt{i_0(I_0-i_0)}}\cdot\arccos\sqrt{\dfrac{i_0}{I_0}}\ ,\ i_0<I_0 \\ \dfrac{i_0I_0}{\sqrt{i_0(i_0-I_0)}}\cdot\operatorname{arccosh}\sqrt{\dfrac{i_0}{I_0}}\  ,\ i_0>I_0 \end{array}\right.\ ,$$dove in realtà le due formule coincidono se le si intendono definite in campo complesso.

Più di un secolo dopo, Gauss (1777-1855) indaga sulla media “ibrida” fra quella aritmetica e quella geometrica: considerando due numeri reali positivi $a_0$ e $b_0$ si definisce $a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}2$ e $b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$ per ogni $n\in \mathbb N$, e chiamo $AG(a_0,b_0)$ il valore limite cui tendono $a_n$ e $b_n$, media “ibrida” fra quella aritmetica e quella geometrica. Gauss dimostra che $$\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2t}}=\frac\pi{2\ AG\left(1,\sqrt{1-k^2}\right)}\ .$$Nella pagina del suo diario del 30 maggio 1799 scrive: «Abbiamo stabilito che la media aritmetica-geometrica fra $1$ e $\sqrt2$ è $\pi/\varpi$ fino a 11 cifre; la dimostrazione di questo fatto aprirà sicuramente un campo interamente nuovo di analisi.» Il numero $\varpi$ è definito da $\displaystyle{\varpi=2\int_0^1\dfrac{dt}{\sqrt{1-t^4}}}$, ed è legato alle funzioni ellittiche.