Limite notevol-e

Navigando in rete mi sono trovato davanti questo limite notevole che non conoscevo:$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[p_n]{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot p_n}=\lim_{n\to\infty} \left( \prod_{k=1}^n p_k \right )^\frac1{p_n}=e$$e mi sono chiesto: ma quanto rapidamente converge la successione?
Beh… molto pigramente e “nervosamente”. Considerando che per $n=1.000.000.000$ abbiamo un errore per difetto di circa $0{,}000015$ ma per arrivarci bisogna estrarre la radice $22.801.763.489^a$ di un numero con quasi $10$ miliardi di cifre (!), direi che non è un sistema efficiente per calcolare $e$. L’errore va circa come $1/\sqrt n$, dove $n$ è l’indice dell’ennesimo primo, che vale circa $n\cdot \ln n$.
Nei grafici $a_n$ indica il termine ennesimo della successione.

Qui trovate una dimostrazione di questo limite notevole: https://bit.ly/limite_notevol-e