Il teorema di Kürschák

József Kürschák

Il matematico ungherese József Kürschák (1864-1933) (non vi inganni l’accento sulla a del cognome: nella lingua ungherese, come in quella francese, gli accenti sono fonici e non tonici, e in ungherese le parole hanno l’accento tonico sempre sulla prima sillaba, la pronuncia dovrebbe essere /'joːʒɛf 'kyrsaːk/) in un articolo del 1918 ha dimostrato che la somma dei reciproci di due o più numeri naturali consecutivi non dà mai come risultato un numero intero. Ho trovato in rete una dimostrazione molto simile a quella originale (che trovate qui alle pagine 299 e 300, però è in ungherese), che mi pare un po’ più semplice anche se un po’ più lunga e che richiede (come quella originale) solo conoscenze elementari in ambito matematico.

Il teorema ha come conseguenza che fra i numeri armonici $\displaystyle{H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k}$ l’unico appartenente a $\mathbb N$ è, banalmente, $H_1=1$.

Vogliamo dunque dimostrare che $$\frac1m + \frac1{m+1} + \ldots + \frac1n \notin \mathbb N \quad \forall \, m,n \in \mathbb N\ \land\ 0<m<n \ .$$

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che vi sia un caso in cui la somma delle frazioni appartenga ad $\mathbb N$. Poiché la somma, per poter appartenere ad $\mathbb N$, deve essere come minimo pari a $1$, possiamo scrivere: $$ 1 \leq \frac1m + \frac1{m+1} + \ldots + \frac1n < \frac1m + \frac1m + \ldots+\frac1m=\frac{n-m+1}{m}$$ e quindi $$\frac{n-m+1}{m}>1 \Rightarrow n-m+1>m \Rightarrow n>2m-1\Rightarrow n\geq 2m\ .$$Essendo $n$ almeno il doppio di $m$, fra i numeri $m$ e $n$ è sicuramente compresa una potenza di $2$, come si può facilmente intuire, ma comunque dimostriamolo rigorosamente procedendo per assurdo: supponiamo che fra $m$ e $n$ non vi siano potenze di $2$, ma allora $$\exists\ k\in \mathbb N \ | \ 2^k<m \ \land\ n<2^{k+1} \Rightarrow \frac{2^k}{m}<1 \ \land\ 1<\frac{2^{k+1}}{n}\leq\frac{2^{k+1}}{2m}=\frac{2^k}{m}\ ,$$ovvero giungiamo ad una contraddizione in termini in quanto $\dfrac{2^k}{m}$ sarebbe simultaneamente maggiore e minore di $1$.

Esiste dunque almeno una potenza di $2$ compresa fra $m$ ed $n$, e sia $2^M$ la massima potenza di $2$ tale che $m\leq 2^M\leq n$. Sommiamo ora le frazioni: il denominatore comune, ovvero il minimo comune multiplo dei denominatori sarà $$D=mcm(m,m+1,\ldots,n)=2^M\cdot3^{e_3}\cdot5^{e_5}\cdot\ldots$$ e si avrà $$ \frac1m + \frac1{m+1} +\ldots+\frac1{2^M}+\ldots + \frac1n=\frac{\frac Dm+\frac D{m+1}+\ldots+ \frac D{2^M} + \ldots + \frac Dn}{D}\ .$$Ora, poiché fra i numeri naturali compresi fra $m$ ed $n$ solo in $2^M$ il fattore $2$ compare con esponente $M$, mentre negli altri numeri fra $m$ ed $n$ o compare con esponente minore o non compare del tutto, gli addendi al numeratore sono tutti pari tranne $\frac D{2^M}$, e quindi la somma al numeratore dà come risultato un numero dispari, mentre il denominatore è pari. Da ciò deduciamo che la somma delle frazioni non può appartenere a $\mathbb N$.

articolo originale di Kürschák, pagina 1

articolo originale di Kürschák, pagina 2