Il teorema di Kürschák

József Kürschák

Il matematico ungherese József Kürschák (1864-1933) (non vi inganni l’accento sulla a del cognome: nella lingua ungherese, come in quella francese, gli accenti sono fonici e non tonici, e in ungherese le parole hanno l’accento tonico sempre sulla prima sillaba, la pronuncia dovrebbe essere /'joːʒɛf 'kyrsaːk/) in un articolo del 1918 ha dimostrato che la somma dei reciproci di due o più numeri naturali consecutivi non dà mai come risultato un numero intero. Ho trovato in rete una dimostrazione molto simile a quella originale (che trovate qui alle pagine 299 e 300, però è in ungherese), che mi pare un po’ più semplice anche se un po’ più lunga e che richiede (come quella originale) solo conoscenze elementari in ambito matematico.

Il teorema ha come conseguenza che fra i numeri armonici $\displaystyle{H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k}$ l’unico appartenente a $\mathbb N$ è, banalmente, $H_1=1$.

Limite notevol-e

Navigando in rete mi sono trovato davanti questo limite notevole che non conoscevo:$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[p_n]{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot p_n}=\lim_{n\to\infty} \left( \prod_{k=1}^n p_k \right )^\frac1{p_n}=e$$e mi sono chiesto: ma quanto rapidamente converge la successione?

Partizioni irrazionali

Prendiamo i multipli positivi del rapporto aureo $\varphi\simeq1{,}618$ e del suo quadrato $\varphi^2\simeq2{,}618$ e disponiamoli sulla retta reale (clic sull’immagine per ingrandirla):

Quello che si nota è che fra ogni coppia di interi positivi consecutivi troviamo sempre uno e un solo elemento di una delle famiglie di multipli.¹ Questo non è tanto legato alla sezione aurea ma ad un’altra proprietà che ora andiamo ad esaminare.

Facciamo un salto in America nei ruggenti anni ’20 (del secolo scorso) e andiamo a pagina 159 di The American Mathematical Monthly, Vol. 33, No. 3 (Marzo 1926) dove il matematico canadese Samuel Beatty (1881-1970) pone un problema:

Per i non anglofoni:

Se $X$ è un numero positivo irrazionale e $Y$ il suo reciproco, dimostrare che le successioni

$$(1+X)\ ,\qquad 2(1+X)\ ,\qquad 3(1+X)\ ,\ldots\\ (1+Y)\ ,\qquad 2(1+Y)\ ,\qquad 3(1+Y)\ ,\ldots$$

contengono uno e un solo numero fra ogni coppia di interi positivi consecutivi.

Tennis markoviano / tie-break vs. oltranza

L’11 luglio appena trascorso, durante la finale di Wimbledon Đoković-Berrettini, al primo set si è arrivati al 6-6 e si è giocato il tie-break. Se fosse stato l’ultimo set, fino al 2018 la regola sarebbe stata di andare avanti ad oltranza fino a quando un giocatore non avesse guadagnato un vantaggio di due giochi sull’altro (dal 2019 al quinto set si può arrivare fino al 12-12 ma poi si gioca il tie-break). Supponiamo di avere due giocatori che abbiano la stessa probabilità di segnare un punto: quanti punti in media verranno giocati nel tie-break? e quanti invece verrebbero giocati andando avanti ad oltranza?

Intanto chiediamoci: quanti punti vengono giocati in un game (uso il termine inglese per evitare ripetizioni)?

Nessun numero è un’isola

$$\begin{array}{rl} \ln(2)=\ln\left(1+1\right)& =\dfrac1{1}-\dfrac1{2}+\dfrac1{3}-\dfrac1{4}+\ldots\\ \ln(3)-\ln(2) =\ln\left(1+\dfrac12\right) & =\dfrac12-\dfrac12\dfrac1{2^2}+\dfrac13\dfrac1{2^3}-\dfrac14\dfrac1{2^4}\ldots \\ \ln(4)-\ln(3) =\ln\left(1+\dfrac13\right)  & =\dfrac13-\dfrac1{2}\dfrac1{3^2}+\dfrac13\dfrac1{3^3}-\dfrac14\dfrac1{3^4}+\ldots \\ & \vdots  \\ \ln(n+1)-\ln(n) =\ln\left(1+\dfrac1n\right)  & =\dfrac1n-\dfrac1{2}\dfrac1{n^2}+\dfrac13\dfrac1{n^3}-\dfrac14\dfrac1{n^4}+\ldots \end{array}$$

Medie ibride

Se consideriamo due numeri reali positivi $a_0$ e $b_0$ e definiamo $a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}2$ e $b_{n+1}=\dfrac{2a_nb_n}{a_n+b_n}$ per ogni $n\in \mathbb N$, le successioni $a_n$ e $b_n$ tendono (ed alquanto rapidamente) a $\sqrt{a_0b_0}$. In un certo senso possiamo dire che la “media ibrida” della media aritmetica e di quella armonica coincide con quella geometrica.

Il matematico scozzese James Gregory (1638-1675), nel suo Vera circuli et hyperbolae quadratura (1667), generalizzando il procedimento di Archimede per la misura della circonferenza, e cercando di unificare la misura delle aree di settori circolari e iperbolici, introduce due successioni, $i_n$ e $I_n$ di mixtilinea inscritti e circoscritti. Dato un arco di conica, $i_0$ è l’area del triangolo inscritto che ha per lati i segmenti che congiungono gli estremi dell’arco al centro della conica e la corda corrispondente all’arco mentre $I_0$ è l’area del quadrilatero che ha per lati i segmenti che congiungono gli estremi dell’arco al centro della conica e i segmenti individuati dalle tangenti agli estremi della corda.