![]() |
József Kürschák |
Il teorema ha come conseguenza che fra i numeri armonici $\displaystyle{H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k}$ l’unico appartenente a $\mathbb N$ è, banalmente, $H_1=1$.
![]() |
József Kürschák |
Navigando in rete mi sono trovato davanti questo limite notevole che non conoscevo:$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[p_n]{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot p_n}=\lim_{n\to\infty} \left( \prod_{k=1}^n p_k \right )^\frac1{p_n}=e$$e mi sono chiesto: ma quanto rapidamente converge la successione?
Se $X$ è un numero positivo irrazionale e $Y$ il suo reciproco, dimostrare che le successioni$$(1+X)\ ,\qquad 2(1+X)\ ,\qquad 3(1+X)\ ,\ldots\\ (1+Y)\ ,\qquad 2(1+Y)\ ,\qquad 3(1+Y)\ ,\ldots$$contengono uno e un solo numero fra ogni coppia di interi positivi consecutivi.