Tolomeo in campo complesso

La disuguaglianza di Tolomeo (ca. 100-175) afferma che per ogni quadrilatero $AXBY$ vale la disuguaglianza $AX\cdot BY+BX\cdot AY\geq AB\cdot XY$ dove vale l’uguale se e solo se il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

Vediamo di dimostrare questo teorema facendo uso dei numeri complessi. Poniamo l’incrocio delle diagonali nell’origine del piano complesso e una diagonale sull’asse reale. I quattro vertici del qua­dri­la­te­ro saranno $A(a)$, $X(x\ e^{i\theta})$, $B(-b)$ e $Y(-y\ e^{i\theta})$ dove $a$, $b$, $x$ e $y$ sono numeri reali positivi e $\theta \in (0,\pi)$.  Userò le lettere $A$, $B$, $X$ e $Y$ sia per indicare i punti sia per indicare i numeri com­ples­si ad essi associati, e sarà il contesto a chiarire il significato da attribuire loro.

Per la disuguaglianza triangolare si ha $$|(X-A)(Y-B)-(B-X)(A-Y)|\leq|(X-A)(Y-B)|+|(B-X)(A-Y)|$$Semplificando e raccogliendo al primo membro e ricordando che il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli otteniamo$$|A-B|\cdot|X-Y|\leq |X-A|\cdot|Y-B|+|B-X|\cdot|A-Y|\ ,$$ ovvero$$AB\cdot XY\leq AX\cdot BY+BX\cdot AY\ ,$$che è la disuguaglianza di Tolomeo.
Andiamo ora a indagare sotto quale condizione vale l’uguaglianza: nella disuguaglianza triangolare $|z_1-z_2|\leq|z_1|+|z_2|$, con $z_1$ e $z_2$ non nulli, vale l’uguale se e solo se $z_1$ e $z_2$, visti come vettori, sono antiparalleli, ovvero se esiste un numero reale positivo $\mu$ tale che $z_2=-\mu z_1$. Nel nostro caso questo significa che deve essere $$(B-X)(A-Y)=-\mu(X-A)(Y-B)\tag{1}\ .$$

Questa uguaglianza porta ad una prima implicazione che otteniamo dividendo entrambi i membri della $(1)$ per $(X-A)(A-Y)$: si ha $\dfrac{B-X}{X-A}=-\mu\dfrac{Y-B}{A-Y}=\mu\dfrac{B-Y}{A-Y}$ che implica $\alpha_1=\arg\left(\dfrac{B-X}{X-A}\right)=\arg\left(\dfrac{B-Y}{A-Y}\right)=\alpha_2$, ovvero l’angolo esterno $\alpha_1$ adiacente ad $\widehat{AXB}$ è congruente all’angolo interno $\alpha_2=\widehat{BYA}$, il che significa che gli angoli interni opposti $\widehat{AXB}$ e $\widehat{BYA}$ sono supplementari, e quindi il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

Una seconda conseguenza la otteniamo considerando che la $(1)$ implica: $$\dfrac{\operatorname{Re}\left[(B-X)(A-Y)\right]}{\operatorname{Im}\left[(B-X)(A-Y)\right]}=\dfrac{\operatorname{Re}\left[(X-A)(Y-B)\right]}{\operatorname{Im}\left[(X-A)(Y-B)\right]}\ , $$ovvero, moltiplicando e portando al primo membro: $$\operatorname{Re}\left[(-b-x\  e^{i\theta})(a+y\ e^{i\theta})\right]\cdot\operatorname{Im}\left[(x\ e^{i\theta}-a)(-y\  e^{i\theta}+b)\right]+\\-\operatorname{Im}\left[(-b-x\  e^{i\theta})(a+y\ e^{i\theta})\right]\cdot\operatorname{Re}\left[(x\ e^{i\theta}-a)(-y\  e^{i\theta}+b)\right]=0\ .$$Svolgendo, semplificando e raccogliendo, l’equazione diventa semplicemente:$$(a+b)(x+y)(xy-ab)\sin\theta=0\ ,$$che esprime la condizione $xy=ab$, che non è altro che il teorema delle corde, a conferma che il quadrilatero $AXBY$ è inscrivibile in una circonferenza.

Dal punto di vista algebrico, la disuguaglianza di Tolomeo può essere così espressa: dati $a$, $b$, $x$ e $y$ reali positivi e $\theta\in(0,\pi)$, e ponendo $\lambda=2\cos\theta\in(-2,2)$ si ha:$$\sqrt{x^2-\lambda ax+a^2}\sqrt{y^2-\lambda by+b^2}+\sqrt{x^2+\lambda bx+b^2}\sqrt{y^2+\lambda ay+a^2}\geq(a+b)(x+y)$$dove vale l’uguaglianza se e solo se $xy=ab$.