Perché i segnali superluminali sono “proibiti” dalla relatività.

Supponiamo di potere inviare un segnale a velocità maggiore di quella della luce, $c$. Supponiamo ad esempio di essere in un sistema inerziale $S$ e di inviare dall’origine degli assi un segnale lungo l’asse $x$ con velocità $v_S>c$ in direzione concorde al verso dell’asse $x$. La traiettoria del segnale avrà equazione $x(t)=v_S\ t$ con evento iniziale $(x_i,t_i)=(0,0)$ ed evento finale $(x_f,t_f)=(d,d/v_S)$.
Consideriamo ora un sistema $S'$ con gli assi paralleli a quelli di $S$ e che si muova con velocità $v$ lungo l’asse $x$ del sistema $S$, in direzione concorde al verso dell’asse $x$. Le trasformazioni di Lorentz sono: $$\left\{ \begin{array}{l}x'=\gamma\ (x-v\ t) \\ t'=\gamma\ (t-v\ x/c^2) \end{array}\right.\ .$$Se $v_S>c$ posso scegliere $v<c$ in modo che sia $v_S\ v>c^2$: ad esempio supponiamo che sia $v_S=3/2c$, e scegliamo $v=3/4c$. Allora per il sistema $S'$ avrò $t'_i=0$ e $t'_f=-\gamma\ d/(12 c)$. In sostanza nel sistema $S'$ l’arrivo del segnale avviene prima della partenza del segnale. Ma questo viola il principio per cui la causa deve sempre precedere l’effetto, e renderebbe possibile trasmettere segnali indietro nel tempo, con tutte le contraddizioni logiche che questo comporterebbe.