sabato 3 luglio 2021

Media potenziata

Siano $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb R^+$ e $x\in\mathbb R$: definiamo la funzione $$M_x(a_1,\ldots,a_n)= \left\{ \begin{array}{ll}\left(\displaystyle{\frac{a_1^{\ x}+a_2^{\ x}+\ldots+a_n^{\ x}}{n}} \right)^{1/x}, & x \ne 0 \\ \\ \displaystyle{\lim_{t\to0}M_t(a_1,\ldots,a_n)}\ , & x=0 \end{array} \right.$$
$M_1$ corrisponde alla media aritmetica, $M_2$ al valore quadratico medio, $M_{-1}$ alla media armonica.
  1. Dimostrare che $M_0$ corrisponde alla media geometrica;
  2. Dimostrare che se $x<y$ allora $M_x(a_1,\ldots,a_n)\leq M_y(a_1,\ldots,a_n)$ dove vale l’uguale se e solo se $a_1=a_2=\ldots=a_n$;
  3. Calcolare $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}M_x(a_1,\ldots,a_n)}$;
  4. Calcolare $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}M_x(a_1,\ldots,a_n)}$.
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