Consideriamo le potenze dei numeri interi positivi (tralasciando i casi banali in cui la base o l’esponente sono $1$): se le prendiamo considerando le ripetizioni (ad esempio prendiamo due volte $4^2=2^4$, oppure $9^2=3^4$, ecc.), e sommiamo i reciproci otteniamo $1$. Se invece le prendiamo senza ripetizioni e sommiamo i reciproci otteniamo – sorprendentemente – lo stesso risultato. In linguaggio matematico, definiamo l’insieme $S$ delle potenze non banali: $S=\{m^n\ |\ m,n\in\mathbb N \land m,n\geq2\}$, e si ha:$$\sum_{p\in S}\frac{1}{p-1}=1=\sum_{m,n=2}^\infty\ \frac{1}{m^n}$$La dimostrazione della prima identità, chiamata teorema di Goldbach o di Goldbach-Eulero, fu pubblicata da Eulero nel 1737 nell’articolo Variae observationes circa series infinitas e attribuita ad una lettera (ora perduta) ricevuta da Goldbach $[\mathrm{GEwiki}]$. La dimostrazione (vedi $[\mathrm{Bib2006]}$) fa un uso “spregiudicato” della serie armonica ($1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots$), assegnando un valore finito ad una serie divergente, ed Eulero era ben consapevole che fosse divergente ! Tuttavia il suo intuito (e stiamo parlando di uno dei massimi genî matematici di tutti i tempi) lo portava a pensare che avrebbe comunque ottenuto un risultato valido. La dimostrazione di Goldbach è stata in seguito resa rigorosa considerando le serie parziali della serie armonica ed effettuando poi il passaggio al limite.
«Questo uso incontrollato delle serie divergenti per ottenere risultati validi era una procedura standard nel tardo diciassettesimo e agli inizi del diciottesimo secolo. Ha destato molte critiche, correzioni e, perché no, l’elogio dell’audacia dei matematici del tempo. Essi erano guidati da Eulero, il “Maestro di noi tutti” come lo chiamò Laplace.» $[\mathrm{Bib2006}]$
In merito Abel nel gennaio 1826, in una lettera a Holmböe scriveva: «Le serie divergenti sono in toto un invenzione del Diavolo, ed è una sciagura che uno debba rischiare di fondare su di esse la più piccola dimostrazione… a parte i casi di estrema semplicità come le serie geometriche, raramente in matematica c’è una sola serie infinita la cui somma sia stata determinata in maniera rigorosa… la maggior parte delle cose sono esatte, è vero, ed è straordinariamente sorprendente.» $[\mathrm{Bib2006}]$
Ma la storia non è finita qui: al giorno d’oggi l’elettrodinamica quantistica, che fornisce risultati in accordo con gli esperimenti con una precisione impressionante – parliamo di un rapporto di $1$ su $10^{13}$ per il fattore-g dell’elettrone! – fa ampio uso di una cosa che si chiama “rinormalizzazione” che dal punto di vista del rigore e della pulizia logica è un pugno in un occhio.
Nelle parole di Feynman (che si è sempre dimostrato di una grande chiarezza e onestà intellettuale), pronunciate il 21 ottobre 1965, giorno in cui venne a sapere di aver vinto il premio Nobel per la fisica: «Ciò che tre premi Nobel (si riferisce a sé stesso, a Julian Schwinger e a Sin-Itiro Tomonaga, covincitori del premio) hanno fatto è stato sbarazzarsi degli infiniti nei calcoli. Gli infiniti sono sempre lì, ma ora possono essere aggirati… abbiamo inventato un metodo per spazzarli sotto il tappeto.» $[\mathrm{CalT1965}]$
E Dirac stesso scrisse: «La maggior parte dei fisici è soddisfatta di questa situazione: essi dicono che l’elettrodinamica quantistica è una buona teoria e non dobbiamo più preoccuparcene. Devo dire che sono molto insoddisfatto di questa situazione, perché questa cosiddetta ‘buona teoria’ comporta il trascurare gli infiniti che compaiono nelle sue equazioni, trascurandoli in modo arbitrario. Questa non è matematica ragionevole. La matematica ragionevole comporta il trascurare una quantità quando risulta essere piccola, non trascurarla perché è infinitamente grande e tu non la vuoi!» ed anche «Sono incline a sospettare che la teoria della rinormalizzazione sia qualcosa che non sopravviverà nel futuro e che l’accordo notevole fra i suoi risultati e gli esperimenti verrà considerato un colpo di fortuna (fluke). Ciò non è forse del tutto sorprendente, perché ci sono stati simili colpi di fortuna in passato. Infatti, la teoria di Bohr sull’orbita dell’elettrone diede risultati con un ottimo accordo con l’osservazione finché ci si limitava a problemi con un elettrone. Penso che ora si direbbe che questo accordo sia stato un colpo di fortuna, perché le idee di base della teoria di Bohr sono state rimpiazzate da qualcosa di radicalmente diverso. Penso che i successi della teoria della rinormalizzazione saranno nella stessa posizione dei successi della teoria dell’orbita di Bohr applicata a problemi con un solo elettrone.» $[\mathrm{Dirac63}]$
Ma veniamo ad una prova rigorosa dell’uguaglianza $[\mathrm{Bib2006]}$. Nei passaggi che seguiranno useremo l’identità $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \dfrac1{x^n}=\dfrac1{1-1/x}}$ valida per $|x|>1$. Sia $S$, come definito all’inizio, l’insieme delle potenze non banali e $T$ il suo complementare in $\mathbb N$ privato di $0$ e $1$: si ha $$\sum_{p\in S}\dfrac1{p-1}=\sum_{k=2}^\infty\sum_{a\in T}\dfrac1{a^k-1}=\sum_{k=2}^\infty\sum_{a\in T}\dfrac1{a^k(1-1/a^k)}=\sum_{k=2}^\infty\sum_{a\in T}\sum_{i=1}^\infty\dfrac1{a^{ik}}$$Ora $a^{i}$ al variare di $a$ in $T$ e per $i$ che va da $1$ a $\infty$ assume il valore di ogni numero naturale $n$ maggiore o uguale a $2$. Possiamo allora scrivere:$$\sum_{k=2}^\infty\sum_{a\in T}\sum_{i=1}^\infty\dfrac1{a^{ik}}=\sum_{k=2}^\infty\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{n^k}=\sum_{n=2}^\infty\sum_{k=2}^\infty\dfrac1{n^k}=\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{n^2}\dfrac1{1-1/n}=\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{n(n-1)}$$ Siamo arrivati alla fine, infatti $$\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{n(n-1)}=\sum_{n=2}^\infty\left(\dfrac1{n-1}-\dfrac1n\right)=\left(\dfrac11-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\ldots=1\ .$$Con un procedimento simile possiamo elaborare anche la sommatoria $\displaystyle{\sum_{p\in S}\dfrac1{p^s-1}}$ per $\operatorname{Re}(s)>1$. I primi passaggi sono analoghi e si ha: $$\sum_{p\in S}\dfrac1{p^s-1}=\ldots=\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{n^{2s}(1-1/n^s)}=\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{n^s(n^s-1)}=\sum_{n=2}^\infty\left(\dfrac1{n^s-1}-\dfrac1{n^s} \right)=$$ $$=\sum_{n=2}^\infty \dfrac1{n^s-1}-\sum_{n=2}^\infty \dfrac1{n^s}= \sum_{n=2}^\infty \dfrac1{n^s-1}-\left[\zeta(s)-1\right]\ .$$Per $s=2$ si ha $$\sum_{n=2}^\infty\dfrac1{n^2-1}=\dfrac12\sum_{n=2}^\infty\left(\dfrac1{n-1}- \dfrac1{n+1} \right) =$$ $$=\dfrac12\left[ \left(\dfrac11- \dfrac13 \right)+\left(\dfrac12-\dfrac14\right)+ \left( \dfrac13- \dfrac15 \right)+\left( \dfrac14- \dfrac16 \right) = \ldots \right] = \dfrac12 \cdot \left( \dfrac11 + \dfrac12\right)=\dfrac34$$e si ha quindi $$\sum_{p\in S}\dfrac1{p^2-1}=\dfrac34-\left[\zeta(2)-1\right]=\dfrac74-\dfrac{\pi^2}6\ .$$
Bibliografia
$[\mathrm{GEwiki}]$ Goldbach–Euler theorem, wikipedia https://bit.ly/GoldEuler_wiki
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