Tennis markoviano / deuce

Abbiamo due tennisti, che indicherò con le lettere maiuscole P e Q, che nel corso di un gioco sono arrivati ad una situazione di parità o deuce. Se chiamo $p$ e $q$ le rispettive probabilità di segnare un punto (ovviamente $p,q>0\ \land\ p+q=1$), quanti punti in media dovranno essere giocati affinché il gioco termini?
La situazione può essere rappresentata da questa figura. Se chiamo $n$ il numero di punti da giocare prima che il gioco termini e $\overline n$ il numero medio di questi punti, avrò una probabilità $p^2$ che sia $n=2$, una probabilità $q^2$ che sia $n=2$ e una probabilità $2pq$ che in media sia $n=\overline n+2$. Posso dunque scrivere: $\overline n=2p^2+2q^2+2pq(\overline n+2)$. Risolvendo per $\overline n$ ottengo $\overline n=2\ \dfrac{p^2+2pq+q^2}{1-2pq}=\dfrac2{p^2+q^2}$ dove ho tenuto conto del fatto che $p^2+2pq+q^2=(p+q)^2=1$. Si ha il massimo per $\overline n$ quando $p=q=1/2$ e allora $\overline n=4$. Quanto maggiore è la differenza in valore assoluto fra $p$ e $q$, tanto più $\overline n$ si avvicina a $2$.

E… se volessi sapere qualcosa di più? ad esempio qual è la probabilità che il gioco si chiuda in $4$, $6$, $8$, eccetera punti? Qual è la varianza? E quali sono le probabilità che sia P o Q a vincere? Possiamo utilizzare le matrici di Markov.

FratTartaglia

Il triangolo di Tartaglia nasconde una struttura frattale quando andiamo a discriminare fra elementi pari e dispari. Considerando le prime $2^n$ righe, per $n$ che tende a infinito otteniamo il triangolo di Sierpiński.

Perché i segnali superluminali sono “proibiti” dalla relatività.

Supponiamo di potere inviare un segnale a velocità maggiore di quella della luce, $c$. Supponiamo ad esempio di essere in un sistema inerziale $S$ e di inviare dall’origine degli assi un segnale lungo l’asse $x$ con velocità $v_S>c$ in direzione concorde al verso dell’asse $x$. La traiettoria del segnale avrà equazione $x(t)=v_S\ t$ con evento iniziale $(x_i,t_i)=(0,0)$ ed evento finale $(x_f,t_f)=(d,d/v_S)$.
Consideriamo ora un sistema $S'$ con gli assi paralleli a quelli di $S$ e che si muova con velocità $v$ lungo l’asse $x$ del sistema $S$, in direzione concorde al verso dell’asse $x$. Le trasformazioni di Lorentz sono: $$\left\{ \begin{array}{l}x'=\gamma\ (x-v\ t) \\ t'=\gamma\ (t-v\ x/c^2) \end{array}\right.\ .$$Se $v_S>c$ posso scegliere $v<c$ in modo che sia $v_S\ v>c^2$: ad esempio supponiamo che sia $v_S=3/2c$, e scegliamo $v=3/4c$. Allora per il sistema $S'$ avrò $t'_i=0$ e $t'_f=-\gamma\ d/(12 c)$. In sostanza nel sistema $S'$ l’arrivo del segnale avviene prima della partenza del segnale. Ma questo viola il principio per cui la causa deve sempre precedere l’effetto, e renderebbe possibile trasmettere segnali indietro nel tempo, con tutte le contraddizioni logiche che questo comporterebbe.

Perché oggi è il vero π day

 Il ventidue luglio è il vero $\pi$ day, per almeno tre motivi:

1. La data non dipende dal sistema di numerazione usato. Se avessimo quattro dita per mano e usassimo un sistema di numerazione posizionale in base otto si avrebbe $\pi\simeq3{,}11_8$ e quindi il $\pi$ day “americano” cadrebbe il nove $(11_8)$ marzo. Se le dita per mano fossero sei e la base fosse dodici si avrebbe invece $\pi\simeq3{,}18_{12}$ e il $\pi$ day “americano” cadrebbe il venti $(18_{12})$ marzo.
2. $22/7$ è la approssimazione a cui il nostro Archimede è arrivato dopo una fatica immane ed avere calcolato che $\pi$ è minore di
   
   e quest’ultimo numero, semiperimetro di un poligono regolare di $96$ lati circoscritto ad una circonferenza di raggio unitario, e che oggi sappiamo valere circa $3{,}142715$, lo ha approssimato a $22/7=3{,}\overline{142857}$ con un errore pari a solo lo $0{,}0045\%$. Vogliamo premiare e commemorare la sua impresa? Considerate poi che gli antichi Greci indicavano i numeri con le lettere dell’alfabeto e pensate alla difficoltà anche solo di fare una addizione, figuriamoci estrarre una radice quadrata!
   
3. $22/7$ è la frazione continua di $\pi$ troncata al secondo termine, quindi è una approssimazione ottimale, al contrario di $3{,}14=314/100$.

E quindi:

BUON $\pi$ DAY A TUTTI!!!

Il gioco dei pacchi 🎁

In una nuova trasmissione televisiva viene fatto questo gioco: vi sono 20 concorrenti, ognuno con un pacco contenente un assegno con una cifra in euro. Viene estratto un concorrente: questi farà aprire un pacco a sua scelta e poi dovrà prendere una decisione: scegliere il pacco appena aperto oppure andare avanti e farne aprire un altro, e così via. Un pacco scartato non potrà più essere scelto. Se nessuno dei pacchi degli altri concorrenti verrà scelto, il concorrente sceglierà forzatamente il proprio pacco (dal valore inizialmente sconosciuto come tutti gli altri). Il concorrente si porterà a casa l’ammontare corrispondente al pacco scelto. Qual è la strategia che massimizza la probabilità di scegliere il pacco dal maggior valore? È da sottolineare che non si ha alcuna informazione sui valori degli assegni, l’unica cosa che si può fare è confrontare i contenuti dei pacchi fra loro.

Il teorema di Goldbach e il problema delle divergenze

Consideriamo le potenze dei numeri interi positivi (tralasciando i casi banali in cui la base o l’esponente sono $1$): se le prendiamo considerando le ripetizioni (ad esempio prendiamo due volte $4^2=2^4$, oppure $9^2=3^4$, ecc.), e sommiamo i reciproci otteniamo $1$. Se invece le prendiamo senza ripetizioni e sommiamo i reciproci otteniamo – sorprendentemente – lo stesso risultato. In linguaggio matematico, definiamo l’insieme $S$ delle potenze non banali: $S=\{m^n\ |\ m,n\in\mathbb N \land m,n\geq2\}$, e si ha:$$\sum_{p\in S}\frac{1}{p-1}=1=\sum_{m,n=2}^\infty\ \frac{1}{m^n}$$La dimostrazione della prima identità, chiamata teorema di Goldbach o di Goldbach-Eulero, fu pubblicata da Eulero nel 1737 nell’articolo Variae observationes circa series infinitas e attribuita ad una lettera (ora perduta) ricevuta da Goldbach $[\mathrm{GEwiki}]$. La dimostrazione (vedi $[\mathrm{Bib2006]}$) fa un uso “spregiudicato” della serie armonica ($1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots$), assegnando un valore finito ad una serie divergente, ed Eulero era ben consapevole che fosse divergente ! Tuttavia il suo intuito (e stiamo parlando di uno dei massimi genî matematici di tutti i tempi) lo portava a pensare che avrebbe comunque ottenuto un risultato valido. La dimostrazione di Goldbach è stata in seguito resa rigorosa considerando le serie parziali della serie armonica ed effettuando poi il passaggio al limite.

Media potenziata

Siano $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb R^+$ e $x\in\mathbb R$: definiamo la funzione $$M_x(a_1,\ldots,a_n)= \left\{ \begin{array}{ll}\left(\displaystyle{\frac{a_1^{\ x}+a_2^{\ x}+\ldots+a_n^{\ x}}{n}} \right)^{1/x}, & x \ne 0 \\ \\ \displaystyle{\lim_{t\to0}M_t(a_1,\ldots,a_n)}\ , & x=0 \end{array} \right.$$

$M_1$ corrisponde alla media aritmetica, $M_2$ al valore quadratico medio, $M_{-1}$ alla media armonica.

1. Dimostrare che $M_0$ corrisponde alla media geometrica;
2. Dimostrare che se $x<y$ allora $M_x(a_1,\ldots,a_n)\leq M_y(a_1,\ldots,a_n)$ dove vale l’uguale se e solo se $a_1=a_2=\ldots=a_n$;
3. Calcolare $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}M_x(a_1,\ldots,a_n)}$;
4. Calcolare $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}M_x(a_1,\ldots,a_n)}$.

Tolomeo in campo complesso

La disuguaglianza di Tolomeo (ca. 100-175) afferma che per ogni quadrilatero $AXBY$ vale la disuguaglianza $AX\cdot BY+BX\cdot AY\geq AB\cdot XY$ dove vale l’uguale se e solo se il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

Vediamo di dimostrare questo teorema facendo uso dei numeri complessi. Poniamo l’incrocio delle diagonali nell’origine del piano complesso e una diagonale sull’asse reale. I quattro vertici del qua­dri­la­te­ro saranno $A(a)$, $X(x\ e^{i\theta})$, $B(-b)$ e $Y(-y\ e^{i\theta})$ dove $a$, $b$, $x$ e $y$ sono numeri reali positivi e $\theta \in (0,\pi)$.  Userò le lettere $A$, $B$, $X$ e $Y$ sia per indicare i punti sia per indicare i numeri com­ples­si ad essi associati, e sarà il contesto a chiarire il significato da attribuire loro.