Matriciana alla Fibonacci

Consideriamo questa matrice: $$W=\left( \begin{array}{ccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 & \cdots\\ 4 & 7 & 11 & 18 & 29 & 47 & 76 & 123 & 199 & 322 & \cdots\\ 6 & 10 & 16 & 26 & 42 & 68 & 110 & 178 & 288 & 466 & \cdots\\ 9 & 15 & 24 & 39 & 63 & 102 & 165 & 267 & 432 & 699 & \cdots\\ 12 & 20 & 32 & 52 & 84 & 136 & 220 & 356 & 576 & 932 & \cdots \\ 14 & 23 & 37 & 60 & 97 & 157 & 254 & 411 & 665 & 1076 & \cdots \\ 17 & 28 & 45 & 73 & 118 & 191 & 309 & 500 & 809 & 1309 & \cdots \\ 19 & 31 & 50 & 81 & 131 & 212 & 343 & 555 & 898 & 1453 & \cdots \\ 22 & 36 & 58 & 94 & 152 & 246 & 398 & 644 & 1042 & 1686 & \cdots\\ 25 & 41 & 66 & 107 & 173 & 280 & 453 & 733 & 1186 & 1919 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right)$$

Come noterete, la prima riga è formata dalla successione di Fibonacci partendo da $F_2$. Ogni riga è costruita in questo modo: $W_{n,1}=\left \lfloor\left \lfloor  n \varphi \right \rfloor \varphi \right \rfloor$ e $W_{n,2}=\left \lfloor\left \lfloor  n \varphi \right \rfloor \varphi^2 \right \rfloor$ dove i simboli $\lfloor\ \rfloor$ indicano la funzione pavimento, ovvero, in parole povere, il numero privato degli eventuali decimali dopo la virgola (più formalmente, il maggior numero intero minore o uguale alla quantità compresa fra i simboli $\lfloor$ e $\rfloor$) e $\varphi$ è il rapporto aureo. Gli elementi successivi di ogni riga si costruiscono con la regola ricorsiva di Fibonacci: $W_{i,n+3}=W_{i,n+2}+W_{i,n+1}$. 

L’elemento generico della matrice può anche essere calcolato con la formula $W_{m,n}=(m-1)F_n+\lfloor m\varphi\rfloor F_{n+1}$.

Tra le proprietà di questa matrice, detta matrice di Wythoff (l’inventore è David R. Morrison, ed ha preso spunto dal gioco di Wythoff) vi sono le seguenti:

1. ogni numero naturale diverso da zero vi appare una e una sola volta;
2. ogni successione di numeri naturali che soddisfa la relazione di ricorsione di Fibonacci appare, da un certo termine in poi, in una riga della matrice, ad esempio la serie di Lucas compare nella seconda riga a partire dall’elemento $L_3$;
3. ogni riga e ogni colonna presenta elementi crescenti;
4. il rango della matrice è $2$ dato che le colonne, dalla terza in poi, sono combinazioni lineari delle prime due, e quindi anche ogni riga è esprimibile come combinazione lineare delle prime $2$, e si ha quindi $|W_{1\ldots n,1\ldots n}|=0$ per $n\geq3$;
5. Se $W_{m,p}<W_{n,q}<W_{m,p+1}$ allora $W_{m,p+1}<W_{n,q+1}<W_{m,p+2}\ $.

Insomma, la matrice di Wythoff partiziona l’insieme $\mathbb N\setminus 0$ in una infinità numerabile di serie di tipo Fibonacci in cui compare ogni serie di tipo Fibonacci. Forte, no?