Per calcolare $\pi$ il noto siceliota Archimede (287 a.C.–212 a.C.) utilizzò come valori limitanti il semiperimetro dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza di raggio unitario e quello dei poligoni regolari circoscritti alla stessa circonferenza. In particolare, conoscendo $l_n$, lato del poligono inscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $l_{2n}$ e analogamente conoscendo $L_n$, lato del poligono circoscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $L_{2n}$. Si parte da $l_6=1$ e $L_6=2/\sqrt3$.
Questo metodo ha due grandi svantaggi: il primo è il dovere calcolare radici quadrate (avete mai sperimentato l’ebbrezza di calcolare una radice quadrata con carta e penna? e tenete conto che noi abbiamo il sistema decimale, i Greci non l’avevano) e il secondo è la lentissima convergenza: ad ogni raddoppio dei lati l’errore diminuisce solo di un fattore circa uguale a $4$. D’altronde, all’epoca non c’era altro, sicché Archimede si dovette accontentare. Con un poligono inscritto di $96$ lati Archimede stabilì che $\pi>3+10/71$, e con un poligono circoscritto di altrettanti lati che $\pi<3+1/7$. In notazione decimale noi scriveremmo $3{,}1408<\pi<3{,}1428$.
Archimede non poteva sapere che calcolando $\frac{1}{6}n(2l_n+L_n)$, ovvero una media pesata del semiperimetro del poligono interno e di quello esterno, la convergenza è molto più rapida, ed infatti $\frac{1}{6}\times96\times(2l_{96}+L_{96})$ dà come risultato $3{,}14159283\ldots$, che differisce da $\pi$ per meno di $2\times10^{-7}$ (sapreste dire perché la convergenza è tanto più rapida?).
Nel XVI secolo Ludolph van Ceulen (1540-1610) riprende il metodo di Archimede e nel 1596 pubblica nel suo libro Van den Circkel (“Sul cerchio”) il valore di $\pi$ con 20 cifre decimali arrivando ad usare poligoni regolari con 2 miliardi di lati. In seguito arrivò a 35 cifre decimali. Egli volle che il valore da lui ottenuto, $3{,}14159265358979323846264338327950288$ fosse inciso sulla sua pietra tombale a Leida. Tuttora in Germania ci si riferisce talvolta a $\pi$ come “numero ludolfino”.
La svolta nel metodo arriva quasi 2000 anni dopo Archimede: nel 1671 James Gregory (1638–1675) scopre quella che noi oggi chiamiamo serie di Taylor per l’arcotangente:
$$\arctan x=x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5-\dfrac{1}{7}x^7+\ldots$$serie scoperta poi indipendentemente da Leibniz (1646–1716) nel 1674. È una scoperta per il mondo occidentale, perché il matematico indiano Madhava (1350–1425) l’aveva già scoperta secoli prima insieme ad altre serie.
Il fatto che la serie abbia i termini a segni alterni risulta molto vantaggioso in quanto gli ultimi due valori della serie troncata forniscono un limite inferiore e superiore al valore della serie infinita, quindi c’è modo di stimare l’errore massimo commesso.
Poiché $\arctan 1=\pi/4$, questo suggerisce di trovare $\pi$ calcolando $4(1-\frac13+\frac15-\frac17\ldots)$. Così però la serie converge molto lentamente, e per avere $n$ decimali dobbiamo sommare $2\times10^n$ termini.
Nel 1676 Newton scopre la serie di Taylor della funzione arcoseno e calcola π con 16 cifre applicando la serie a $\frac12$ che è l’arcoseno di $\pi/6$. La serie però non è altrettanto semplice e “comoda” e non si presta agevolmente al calcolo di molte cifre di $\pi$.
Ma arriva ora il nostro eroe, John Machin (1680–1751) (si pronuncia /'meɪtʃɪn/) che nel 1706 scopre (non sappiamo come) la formula $$\frac{\pi}{4}=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}\ .$$Utilizzando la serie di Gregory-Leibniz ora la convergenza è molto più rapida, e Machin riesce a calcolare $\pi$ con ben $100$ cifre decimali, richiedendogli il calcolo di una settantina di termini della serie relativa ad $\arctan\frac15$ e di una quarantina di termini della serie relativa ad $\arctan\frac1{239}$. In suo onore, ogni espressione di $\pi$ come somma o differenza di arcotangenti di frazioni, in particolare se hanno numeratore pari a $1$, viene chiamata Machin-like formula (in italiano potremmo tradurre con “formula di tipo Machin”). Possiamo dimostrare la formula di Machin utilizzando le formule di addizione e sottrazione per la tangente, oppure più elegantemente attraverso le identità complesse $$(5+i)^4=(24+10i)^2=476+480i=2(1+i)(239+i)\ ,$$ da cui $4\arg(5+i)=\arg(1+i)+\arg(239+i)$, ovvero $4\arctan\frac15= \pi/4+\arctan\frac1{239}\ $.
Ho cercato un metodo grafico per esprimere la formula di Machin, e lo trovate nelle seguenti immagini. Dati i numeri in gioco credo sia difficile elaborare una dimostrazione grafica meno “ingombrante”.
Nota a margine: il grafico suggerisce che $338\simeq239\sqrt2$, e dividendo per $\sqrt2$ otteniamo $169\sqrt2\simeq239$, quindi $\sqrt2\simeq239/169$. In effetti questa è un’approssimazione ottimale, in quanto la frazione continua di $239/169$ è $[1;2,2,2,2,2,2]$, sviluppo parziale di quella di $\sqrt2$ che è $[1;\bar2]$, ovvero $[1;2,2,2,\ldots]\ $. Che ci sia un legame più generale fra sviluppi parziali della frazione continua di $\sqrt2$ (secante di $\pi/4$) e formule di tipo Machin?
Una formula generalizzata di tipo Machin è della forma $\pi=\sum_n a_n\arctan(b_n/c_n)\ $.
Mentre esistono infinite formule generalizzate di tipo Machin, se imponiamo che i $b_n$ siano uguali a $1$ allora, fissato il numero di addendi, il numero di formule è limitato.
Se imponiamo che gli addendi siano due allora, come dimostrato nel 1899 da Carl Størmer¹, abbiamo solo quattro formule:
| $\color{Blue}{\dfrac{\pi}{4}=\arctan\dfrac12+\arctan\dfrac13}$ |
Eulero (1707-1783) |
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| $\color{Blue}{\dfrac{\pi}{4}=2\arctan\dfrac13+\arctan\dfrac17}$ |
Charles Hutton (1737-1823) |
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| $\color{Blue}{\dfrac{\pi}{4}=2\arctan\dfrac{1}{2}-\arctan\dfrac{1}{7}}$ |
Jakob Hermann (1678-1733) |
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| $\color{Blue}{\dfrac{\pi}{4}=4\arctan\dfrac15-\arctan\dfrac{1}{239}}$ |
John Machin (1680-1751) |
Tutte queste formule sono legate ad identità nel campo complesso, come già visto per quella elaborata da Machin².
Vi sono 106 formule di tipo Machin a tre termini con $b_n=1$², ne segnalo una particolarmente elegante:
| ${\dfrac{\pi}{4}=\arctan\dfrac{1}{2}+\arctan\dfrac{1}{5}+\arctan\dfrac{1}{8}}$ |
Leopold Karl von Strassnitzky (1803-1852) |
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