venerdì 18 giugno 2021

Machin-azione per spaccare il caπello in 4

Per calcolare $\pi$ il noto siceliota Archimede (287 a.C.–212 a.C.) utilizzò come valori limitanti il semiperimetro dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza di raggio unitario e quello dei poligoni regolari circoscritti alla stessa circonferenza. In particolare, conoscendo $l_n$, lato del poligono inscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $l_{2n}$ e analogamente conoscendo $L_n$, lato del poligono circoscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $L_{2n}$. Si parte da $l_6=1$ e $L_6=2/\sqrt3$.

Questo metodo ha due grandi svantaggi: il primo è il dovere calcolare radici quadrate (avete mai sperimentato l’ebbrezza di calcolare una radice quadrata con carta e penna? e tenete conto che noi abbiamo il sistema decimale, i Greci non l’avevano) e il secondo è la lentissima convergenza: ad ogni raddoppio dei lati l’errore diminuisce solo di un fattore circa uguale a $4$. D’altronde, all’epoca non c’era altro, sicché Archimede si dovette accontentare. Con un poligono inscritto di $96$ lati Archimede stabilì che $\pi>3+10/71$, e con un poligono circoscritto di altrettanti lati che $\pi<3+1/7$. In notazione decimale noi scriveremmo $3{,}1408<\pi<3{,}1428$.

martedì 15 giugno 2021

Squadrature: ancora tu, non mi sorπrende lo sai…

Ogni numero naturale $n$ diverso da 0 può essere espresso in modo unico come prodotto di potenze di numeri primi (teorema fondamentale dell’aritmetica): $$n = \prod_{k=1}^{\infty}p_k^{e_k}=2^{e_1}\times3^{e_2}\times5^{e_3}\times\ldots$$ dove gli $e_k$ sono numeri naturali.
Scelto a caso un numero naturale diverso da zero, qual è la probabilità che si abbia $\max\{e_k\}<2$, ovvero che nessun esponente superi $1$? Il quesito  può essere riformulato così: qual è la probabilità che un numero naturale diverso da zero non sia multiplo di un quadrato (escluso il quadrato di $1$ ovviamente) ?
Ragionando al contrario, qual è invece la probabilità che un numero sia un multiplo, ad esempio, di $2^2=4$? è $\dfrac{1}{4}$, quindi la probabilità che non sia un multiplo di $4$ è $1-\dfrac{1}{4}$. E qual è la probabilità che non sia un multiplo di $3^2=9$? è $1-\dfrac{1}{9}$. Poiché le singole probabilità sono indipendenti, la probabilità che un numero n non sia multiplo di alcun quadrato porta alla stessa produttoria vista nel post sulla coπrimalità. E quindi la probabilità cercata è ancora $$p=\dfrac{1}{\zeta(2)}=\dfrac{6}{\pi^2}\simeq60{,}8\%\ .$$

sabato 5 giugno 2021

Coπrimalità

Presi due numeri naturali maggiori di $1$, qual è la probabilità che essi siano coprimi, ovvero che il loro massimo comun divisore sia $1$?
La risposta è sorprendente: la probabilità è $p=\dfrac{1}{\zeta(2)}=\dfrac{6}{\pi^2}\simeq 60{,}8\%\ $ ($\zeta$ è la funzione zeta di Riemann), la dimostrazione è data in calce al post.
Ho provato a “verificare sul campo” questo valore, considerando $n$ numeri da $2$ a $n+1$ e contando quante sono le coppie ordinate $(a,b)$ di numeri coprimi, con $2\leq a,b \leq n+1$. Chiamo $c(n)$ il numero di queste coppie. Il rapporto $c(n)/n^2$ dovrebbe convergere a $\dfrac{6}{\pi^2}$ al tendere di $n$ a infinito. Le immagini qui sotto testimoniano che questo in effetti accade.