Matriciana alla Fibonacci

Consideriamo questa matrice: $$W=\left( \begin{array}{ccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 & \cdots\\ 4 & 7 & 11 & 18 & 29 & 47 & 76 & 123 & 199 & 322 & \cdots\\ 6 & 10 & 16 & 26 & 42 & 68 & 110 & 178 & 288 & 466 & \cdots\\ 9 & 15 & 24 & 39 & 63 & 102 & 165 & 267 & 432 & 699 & \cdots\\ 12 & 20 & 32 & 52 & 84 & 136 & 220 & 356 & 576 & 932 & \cdots \\ 14 & 23 & 37 & 60 & 97 & 157 & 254 & 411 & 665 & 1076 & \cdots \\ 17 & 28 & 45 & 73 & 118 & 191 & 309 & 500 & 809 & 1309 & \cdots \\ 19 & 31 & 50 & 81 & 131 & 212 & 343 & 555 & 898 & 1453 & \cdots \\ 22 & 36 & 58 & 94 & 152 & 246 & 398 & 644 & 1042 & 1686 & \cdots\\ 25 & 41 & 66 & 107 & 173 & 280 & 453 & 733 & 1186 & 1919 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right)$$

Come noterete, la prima riga è formata dalla successione di Fibonacci partendo da $F_2$. Ogni riga è costruita in questo modo: $W_{n,1}=\left \lfloor\left \lfloor  n \varphi \right \rfloor \varphi \right \rfloor$ e $W_{n,2}=\left \lfloor\left \lfloor  n \varphi \right \rfloor \varphi^2 \right \rfloor$ dove i simboli $\lfloor\ \rfloor$ indicano la funzione pavimento, ovvero, in parole povere, il numero privato degli eventuali decimali dopo la virgola (più formalmente, il maggior numero intero minore o uguale alla quantità compresa fra i simboli $\lfloor$ e $\rfloor$) e $\varphi$ è il rapporto aureo. Gli elementi successivi di ogni riga si costruiscono con la regola ricorsiva di Fibonacci: $W_{i,n+3}=W_{i,n+2}+W_{i,n+1}$. 

L’elemento generico della matrice può anche essere calcolato con la formula $W_{m,n}=(m-1)F_n+\lfloor m\varphi\rfloor F_{n+1}$.

La matematica delle api

Come tutti sappiamo, le cellette delle api sono esagonali e sappiamo che in questo modo il piano può essere tassellato minimizzando, a parità di area della singola cella, il perimetro delle celle e quindi la quantità di cera utilizzata. La tassellatura esagonale richiede un consumo di cera del 18% inferiore rispetto a quella triangolare e del 7% inferiore rispetto a quella quadrata.
La cera è una sostanza rara e dispendiosa: 1 kg di cera richiede il lavoro di secrezione di circa 150'000 api ed al consumo di ben 12 kg di miele. È quindi essenziale che la quantità di cera impiegata per fare gli alveari sia la minore possibile e la quantità di miele contenuta la maggiore possibile. Ma… il fondo delle cellette come è fatto? Forse non tutti sanno che… non è piatto, è formato da tre rombi. Così, i due tipi di cellette che hanno aperture in direzioni opposte, non sono separate da un piano, come uno si aspetterebbe, ma da una superficie a zigzag. I prismi esagonali da una parte sono sfalsati rispetto a quelli dall’altra parte.

Keplero aveva dedotto dalla simmetria e dalla proprietà di riempire lo spazio di un alveare che i suoi angoli dovevano essere quelli del dodecaedro rombico, ma la scoperta passò inosservata.
Anni dopo, Giacomo Maraldi (1665-1729) si diede allo studio degli alveari e realizzò il primo alveare con una parete di vetro per potere osservare le api all’opera. Nel 1712, misurò gli angoli dei rombi trovando che gli angoli ottusi erano circa di $110^\circ$, ricavando, supponendo forme simili a quelle di un dodecaedro rombico, che fossero di $109^\circ28'$ (lo stesso angolo che formano lamine di sapone in una gabbia tetraedrica), e quindi gli angoli acuti di $70^\circ32'$.¹ 

Fibonacci alla matriciana

Conosciamo tutti i numeri di Fibonacci (1170-1242), vero? $0$, $1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$, $\ldots\ $

Sono definiti da $F_0=0$, $F_1=1$ e $F_{n+2}=F_{n+1}-F_n, \forall n \in \mathbb N$. Esiste un modo per calcolare $F_n$ senza dovere prima calcolare tutti i precedenti numeri di Fibonacci? Sì, e per trovarlo usiamo le matrici.

In particolare definiamo la matrice $M=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right )$ e calcoliamo le sue potenze: $$ M^2=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right ),\  M^3=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right ),\  M^4=\left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} \right )\ \ldots$$ Come si vede, viene da supporre gli elementi di $M^n$ siano formati dai numeri $F_{n+1}$, $F_n$ e $F_{n-1}$. Possiamo dimostrarlo formalmente per induzione: si ha infatti $M^1=\left( \begin{array}{cc} F_2 & F_1 \\ F_1 & F_0 \end{array} \right)$ e supponiamo che per $1\leq k\leq n$ si abbia $M^k=\left( \begin{array}{cc} F_{k+1} & F_k \\ F_k & F_{k-1} \end{array} \right)$: si avrà allora $$M^{n+1}=M^n\cdot M=\left( \begin{array}{cc} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)=\\ \ \\=\left( \begin{array}{cc} F_{n+1}+F_n & F_{n+1} \\  F_n+F_{n-1} & F_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} F_{n+2} & F_{n+1} \\ F_{n+1} & F_n \end{array} \right),$$che prova la nostra supposizione.

Una discreta diffusione

Facciamo questo strano gioco dell’oca: a $t=0$ sei in posizione $x=0$. Lanci due monete. Se esce una doppia testa a $t+1$ fai un passo verso $x+1$, se esce doppia croce fai un passo verso $x-1$, se esce testa e croce stai fermo. Come cambia la distribuzione di probabilità in funzione del tempo? È una distribuzione binomiale e, come si vede nel video, la distribuzione si avvicina sempre di più a una gaussiana con la varianza proporzionale al tempo. È di fatto una versione discreta del fenomeno di diffusione (del calore, delle molecole di un gas…) e l’equazione alle differenze finite della funzione di probabilità è del tutto analoga all’equazione differenziale della diffusione.

Machin-azione per spaccare il caπello in 4

Per calcolare $\pi$ il noto siceliota Archimede (287 a.C.–212 a.C.) utilizzò come valori limitanti il semiperimetro dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza di raggio unitario e quello dei poligoni regolari circoscritti alla stessa circonferenza. In particolare, conoscendo $l_n$, lato del poligono inscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $l_{2n}$ e analogamente conoscendo $L_n$, lato del poligono circoscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $L_{2n}$. Si parte da $l_6=1$ e $L_6=2/\sqrt3$.

Questo metodo ha due grandi svantaggi: il primo è il dovere calcolare radici quadrate (avete mai sperimentato l’ebbrezza di calcolare una radice quadrata con carta e penna? e tenete conto che noi abbiamo il sistema decimale, i Greci non l’avevano) e il secondo è la lentissima convergenza: ad ogni raddoppio dei lati l’errore diminuisce solo di un fattore circa uguale a $4$. D’altronde, all’epoca non c’era altro, sicché Archimede si dovette accontentare. Con un poligono inscritto di $96$ lati Archimede stabilì che $\pi>3+10/71$, e con un poligono circoscritto di altrettanti lati che $\pi<3+1/7$. In notazione decimale noi scriveremmo $3{,}1408<\pi<3{,}1428$.

Squadrature: ancora tu, non mi sorπrende lo sai…

Ogni numero naturale $n$ diverso da 0 può essere espresso in modo unico come prodotto di potenze di numeri primi (teorema fondamentale dell’aritmetica): $$n = \prod_{k=1}^{\infty}p_k^{e_k}=2^{e_1}\times3^{e_2}\times5^{e_3}\times\ldots$$ dove gli $e_k$ sono numeri naturali.

Scelto a caso un numero naturale diverso da zero, qual è la probabilità che si abbia $\max\{e_k\}<2$, ovvero che nessun esponente superi $1$? Il quesito  può essere riformulato così: qual è la probabilità che un numero naturale diverso da zero non sia multiplo di un quadrato (escluso il quadrato di $1$ ovviamente) ?

Ragionando al contrario, qual è invece la probabilità che un numero sia un multiplo, ad esempio, di $2^2=4$? è $\dfrac{1}{4}$, quindi la probabilità che non sia un multiplo di $4$ è $1-\dfrac{1}{4}$. E qual è la probabilità che non sia un multiplo di $3^2=9$? è $1-\dfrac{1}{9}$. Poiché le singole probabilità sono indipendenti, la probabilità che un numero n non sia multiplo di alcun quadrato porta alla stessa produttoria vista nel post sulla coπrimalità. E quindi la probabilità cercata è ancora $$p=\dfrac{1}{\zeta(2)}=\dfrac{6}{\pi^2}\simeq60{,}8\%\ .$$

Coπrimalità

Presi due numeri naturali maggiori di $1$, qual è la probabilità che essi siano coprimi, ovvero che il loro massimo comun divisore sia $1$?

La risposta è sorprendente: la probabilità è $p=\dfrac{1}{\zeta(2)}=\dfrac{6}{\pi^2}\simeq 60{,}8\%\ $ ($\zeta$ è la funzione zeta di Riemann), la dimostrazione è data in calce al post.

Ho provato a “verificare sul campo” questo valore, considerando $n$ numeri da $2$ a $n+1$ e contando quante sono le coppie ordinate $(a,b)$ di numeri coprimi, con $2\leq a,b \leq n+1$. Chiamo $c(n)$ il numero di queste coppie. Il rapporto $c(n)/n^2$ dovrebbe convergere a $\dfrac{6}{\pi^2}$ al tendere di $n$ a infinito. Le immagini qui sotto testimoniano che questo in effetti accade.