mercoledì 30 giugno 2021
Matriciana alla Fibonacci
domenica 27 giugno 2021
La matematica delle api
La cera è una sostanza rara e dispendiosa: 1 kg di cera richiede il lavoro di secrezione di circa 150'000 api ed al consumo di ben 12 kg di miele. È quindi essenziale che la quantità di cera impiegata per fare gli alveari sia la minore possibile e la quantità di miele contenuta la maggiore possibile. Ma… il fondo delle cellette come è fatto? Forse non tutti sanno che… non è piatto, è formato da tre rombi. Così, i due tipi di cellette che hanno aperture in direzioni opposte, non sono separate da un piano, come uno si aspetterebbe, ma da una superficie a zigzag. I prismi esagonali da una parte sono sfalsati rispetto a quelli dall’altra parte.
Keplero aveva dedotto dalla simmetria e dalla proprietà di riempire lo spazio di un alveare che i suoi angoli dovevano essere quelli del dodecaedro rombico, ma la scoperta passò inosservata.
Anni dopo, Giacomo Maraldi (1665-1729) si diede allo studio degli alveari e realizzò il primo alveare con una parete di vetro per potere osservare le api all’opera. Nel 1712, misurò gli angoli dei rombi trovando che gli angoli ottusi erano circa di $110^\circ$, ricavando, supponendo forme simili a quelle di un dodecaedro rombico, che fossero di $109^\circ28'$ (lo stesso angolo che formano lamine di sapone in una gabbia tetraedrica), e quindi gli angoli acuti di $70^\circ32'$.¹
venerdì 25 giugno 2021
Fibonacci alla matriciana
martedì 22 giugno 2021
Una discreta diffusione
Facciamo questo strano gioco dell’oca: a $t=0$ sei in posizione $x=0$. Lanci due monete. Se esce una doppia testa a $t+1$ fai un passo verso $x+1$, se esce doppia croce fai un passo verso $x-1$, se esce testa e croce stai fermo. Come cambia la distribuzione di probabilità in funzione del tempo? È una distribuzione binomiale e, come si vede nel video, la distribuzione si avvicina sempre di più a una gaussiana con la varianza proporzionale al tempo. È di fatto una versione discreta del fenomeno di diffusione (del calore, delle molecole di un gas…) e l’equazione alle differenze finite della funzione di probabilità è del tutto analoga all’equazione differenziale della diffusione.
venerdì 18 giugno 2021
Machin-azione per spaccare il caπello in 4
Per calcolare $\pi$ il noto siceliota Archimede (287 a.C.–212 a.C.) utilizzò come valori limitanti il semiperimetro dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza di raggio unitario e quello dei poligoni regolari circoscritti alla stessa circonferenza. In particolare, conoscendo $l_n$, lato del poligono inscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $l_{2n}$ e analogamente conoscendo $L_n$, lato del poligono circoscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $L_{2n}$. Si parte da $l_6=1$ e $L_6=2/\sqrt3$.
Questo metodo ha due grandi svantaggi: il primo è il dovere calcolare radici quadrate (avete mai sperimentato l’ebbrezza di calcolare una radice quadrata con carta e penna? e tenete conto che noi abbiamo il sistema decimale, i Greci non l’avevano) e il secondo è la lentissima convergenza: ad ogni raddoppio dei lati l’errore diminuisce solo di un fattore circa uguale a $4$. D’altronde, all’epoca non c’era altro, sicché Archimede si dovette accontentare. Con un poligono inscritto di $96$ lati Archimede stabilì che $\pi>3+10/71$, e con un poligono circoscritto di altrettanti lati che $\pi<3+1/7$. In notazione decimale noi scriveremmo $3{,}1408<\pi<3{,}1428$.