Parabole e papere ‒ Atto II: Libertà

Come visto nell’Atto I, una catenaria è descritta dall’equazione $y_c=y_0+\dfrac{\cosh[a(x-x_0)]}{a}\ $.

Supponiamo ora di volere scegliere arbitrariamente i due punti a cui è appesa la corda. Chiamo $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ i due punti e chiamo $L$ la lunghezza della corda. Per trovare i parametri $a$, $x_0$ e $y_0$ della catenaria cercata occorre risolvere il seguente sistema:$$ \left\{\begin{array}{l}y_0+ \dfrac{\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_A \\ y_0+\dfrac{\cosh[a(x_B-x_0)]}{a}=y_B \\ \dfrac{\sinh [a (x_B-x_0)]-\sinh [a(x_A-x_0)]}{a} = L \end{array}\right. \ .$$ Un sistema di tre equazioni, risolvibili solo numericamente, è troppo per geogebra,  e peraltro anche software più blasonati (e costosi – geogebra è gratuito) arrancano a risolverlo.

Ma sedendo e mirando, sottraggo intanto la prima equazione dalla seconda e sostituisco l’equazione ottenuta alla seconda, ottenendo il sistema $$\left\{\begin{array}{l} y_0+\dfrac{\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_A \\ \dfrac{\cosh[a(x_B-x_0)]-\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_B-y_A \\ \dfrac{\sinh [a (x_B-x_0)]-\sinh [a(x_A-x_0)]}{a} = L \end{array}\right.$$ che ha la seconda e terza equazione che formano un sottosistema di due equazioni in due incognite.
A questo punto mi tornerebbero utili formule analoghe a quelle di prostaferesi, però per le funzioni iperboliche. Conoscendo le formule di addizione del seno e coseno iperbolico le possiamo ricavare in questo modo: $$\cosh x- \cosh y= \cosh\left(\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{2}\right) - \cosh\left(\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{x-y}{2} \right ) = \ldots \\ =2\sinh\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\sinh\left(\dfrac{x-y}{2}\right )\ .$$ e analogamente si trova  $$\sinh x- \sinh y= \sinh\left(\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{2}\right) -\sinh\left(\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{x-y}{2}\right ) = \ldots \\ =2\cosh\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\sinh\left(\dfrac{x-y}{2}\right )\ .$$ Ora posso riscrivere il sistema in questo modo: $$ \;\;\left\{\begin{array}{l} y_0+\dfrac{\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_A \\ \dfrac{2}{a} \sinh\left[a\left(\dfrac{x_B+x_A}{2}-x_0\right)\right] \sinh\left[a\left(\dfrac{x_B-x_A}{2}\right)\right] =y_B-y_A \\ \dfrac{2}{a} \cosh\left[a\left(\dfrac{x_B+x_A}{2}-x_0\right)\right] \sinh\left[a\left(\dfrac{x_B-x_A}{2}\right)\right] = L \end{array}\right.\ . \tag{1}$$ Ora per far sparire i termini contenenti $x_0$ ricordo l’identità fondamentale per le funzioni iperboliche: $\cosh^2x-\sinh^2x=1$. Elevo al quadrato la seconda e terza equazione e sottraggo la seconda dalla terza ottenendo $$\dfrac{4}{a^2}\sinh^2\left[a\left(\dfrac{x_B-x_A}{2}\right)\right]=L^2-(y_B-y_A)^2\tag{2}$$ che è un’equazione nella sola incognita $a$. Da notare che essendo sempre $x^2\leq\sinh^2x$, valendo l’uguaglianza solo per $x=0$, si avrà sempre $(x_B-x_A)^2\leq L^2-(y_B-y_A)^2$ che esprime il fatto che la lunghezza $L$ deve essere maggiore o uguale della lunghezza del segmento $AB$. Per $a$ che tende a $0$ otteniamo al limite $(x_B-x_A)^2 = L^2-(y_B-y_A)^2$, ovvero $L$ coincide con la lunghezza di $AB$. È il caso della corda perfettamente tesa.
Utilizzando una variabile ausiliaria, $\xi=\dfrac{a(x_B-x_A)}{2}$, l’equazione $(2)$ diventa $$\left(\frac{\sinh \xi}{\xi}\right)^2=\frac{L^2-(y_B-y_A)^2}{(x_B-x_A)^2}\ .$$ Una volta determinata $\xi$ (come abbiamo visto nell’Atto I, geogebra è in grado di risolvere numericamente un’equazione) e quindi $a$, possiamo facilmente ricavare tramite le funzioni iperboliche dirette e inverse prima $x_0$ e poi $y_0$ dalla seconda e prima equazione del sistema $(1)$.
Per la parabola le cose sono concettualmente più semplici, in quanto possiamo scrivere subito l’equazione di una parabola passante per $A$ e $B$ facendola dipendere da un solo parametro $k$: $y_p=y_A+k(x-x_A)(x-x_B)+m(x-x_A)$ con $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. L’espressione per la lunghezza però è alquanto più complicata:

$$L_p(k)=\displaystyle\int_{x_A}^{x_B} \sqrt{1+ f'(x) ^2} \ dx =\\=\frac{|x_B-x_A|}{4\chi}\left [(m+\chi) \sqrt{1+(m+\chi)^2}-(m-\chi)\sqrt{1+(m-\chi)^2} +\\+\operatorname{arcsinh}(m+\chi)-\operatorname{arcsinh}(m-\chi)\right ]$$ dove per rendere più leggibile la formula ho posto $\chi=k(x_B-x_A)$, ma in ogni caso basta inserirla in geogebra che poi provvederà a risolvere numericamente l’equazione $L_p(k)=L$.
Trovare la spezzata di minore energia si è rivelato il problema concettualmente più complicato. Inizialmente ho pensato che la minore energia si raggiungesse ponendo il punto angoloso nella posizione più bassa possibile, ma in realtà mi sono accorto che, applicando questa condizione, il minimo si ha solo se $y_A=y_B$.

Si tratta di trovare le coordinate del punto $P(x,y)$ tale che $\Lambda(x,y)=\overline{AP} + \overline{BP}=L$ e che renda minima l’energia gravitazionale $U(x,y)$ della corda. È un problema di minimo vincolato. Si ha: $$\Lambda(x,y)=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}+\sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2} \\U(x,y)=\frac12 \left[(y+y_A)\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}+(y+y_B)\sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}\right ]\ .$$ Per risolvere il problema di minimo (o massimo) vincolato dobbiamo risolvere questo sistema di due equazioni:$$\left\{ \begin{array}{l} \quad \Lambda(x,y)=L \\ \\ \dfrac{\quad\dfrac{\partial U(x,y)}{\partial x}\quad}{\dfrac{\partial U(x,y)}{\partial y}}=\dfrac{\quad\dfrac{\partial \Lambda(x,y)}{\partial x}\quad}{\dfrac{\partial \Lambda(x,y)}{\partial y}}\end{array} \right. \quad .\tag{3}$$ Ora, se scriviamo la seconda equazione esplicitando le derivate parziali otteniamo un guazzabuglio che non si sa da dove prendere. Ho allora usato un altro metodo. So che i punti $P$ per cui $\overline{AP} + \overline{BP}=L$ costituiscono un’ellisse di fuochi $A$ e $B$. Se ho un’ellisse nel piano cartesiano con fuochi nei punti $F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$ la sua equazione è $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ dove $a$ è metà della somma (costante) delle distanze dai fuochi e $b$ è dato dalla formula $b=\sqrt{a^2-c^2}$. Un generico punto $P$ di questa ellisse può essere parametrizzato come $P(a\cos \theta,b\sin \theta)$. Questa parametrizzazione ha anche il vantaggio di poter esprimere semplicemente le distanze dai fuochi, si ha infatti $\overline{AF_1}=a+c\cos\theta$ e $\overline{AF_2}=a-c\cos\theta$. Ora scelgo $c=\dfrac12 \overline{AB}$ e $a=\dfrac12L$, e con una rototraslazione faccio coincidere $F_1$ con $A$ e $F_2$ con $B$. Il punto generico dell’ellisse ha ora coordinate $$\left \{ \begin{array}{l}x=a\cos\theta\cos\alpha-b\sin\theta\sin\alpha+\dfrac12(x_A+x_B) \\ y=b\sin\theta\cos\alpha+a\cos\theta\sin\alpha+\dfrac12(y_A+y_B)\end{array}\right.$$ dove $\alpha=\arg \left[(x_B-x_A)+i (y_B-y_A )\right]$ è l’angolo che il vettore $\overrightarrow{AB}$ forma col semiasse positivo delle ascisse. A questo punto otteniamo per l’energia gravitazionale l’espressione $$U= \left[a^2\sin \alpha+\frac{1}{2} c (y_A-y_B)\right]\cos \theta+a b \cos \alpha \sin \theta+a(y_A+y_B)=\\=\dfrac{b}{2c}\Big[b(y_B-y_A)\cos\theta+a(x_B-x_A)\sin\theta \Big]+a(y_A+y_B)$$che è lineare in $\cos\theta$ e $\sin \theta$ e di cui è facile trovare il minimo, che si ha per $\theta=\arg\big[b(y_A-y_B)+i\ a(x_A-x_B) \big]$.
Ho messo tutto su geogebra, similmente a quanto fatto nell’Atto I, fissando $A$ nell’origine ed evidenziando con un circoletto i punti più bassi delle tre curve. Stavolta le differenze fra catenaria e parabola si rendono più evidenti se $B$ non ha la stessa ordinata di $A$.

Ma… una cosa salta all’occhio: indipendentemente dalla ordinata di $B$, il vertice della spezzata ha ascissa che è sempre intermedia fra quella di $A$ e di $B$. Non può essere un caso. E infatti, provando e riprovando, se trasformo la seconda equazione del sistema $(3)$ in $$\dfrac{\partial U(x,y)}{\partial x}\dfrac{\partial \Lambda(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial U(x,y)}{\partial y}\dfrac{\partial \Lambda(x,y)}{\partial x}=0\ ,$$esplicito le derivate parziali, semplifico e raccolgo, ottengo $$\left(x-\frac{x_A+x_B}{2}\right)\left[1+\frac{(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)}{\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}    \sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}}\right ]=0\ .$$La condizione di minimo vincolato è dunque verificata proprio se l’ascissa del punto più basso della spezzata è la media aritmetica delle ascisse di $A$ e $B$. Averlo visto prima! Ma non c’è un modo semplice per dimostrare una proprietà semplice?

Posso visualizzare questa proprietà con un grafico dove traccio l’ellisse di tutti i punti $P$ per cui $\overline{AP}+\overline{BP}=L$ e alcune curve che rappresentano punti $P$ corrispondenti a spezzate $APB$ con la stessa energia gravitazionale. Le curve “isoenergetiche” tangenti all’ellisse – ovvero che soddisfano la seconda condizione del sistema $(3)$ – la incontrano proprio nei punti di ascissa intermedia fra quella di $A$ e quella di $B$.

E… se la spezzata fosse formata da tre segmenti? una piccola simulazione con geogebra (che applicazione meravigliosa!) mostra che la spezzata $APQB$ ha energia minima quando le ascisse dei punti $A$, $P$, $Q$ e $B$ sono equispaziate. Che sia una regola che si estende a spezzate formate da $n$ segmenti? A ben pensarci… deve essere così, ed è facile dimostrarlo partendo da quanto visto prima. Lo lascio come semplice esercizio al lettore (😉). Per $n>2$ la condizione è necessaria ma non è più sufficiente.

Qui sotto la simulazione fatta con geogebra.