Parabole e papere ‒ Atto I: Alla stessa altezza

Il titolo del post sarebbe stato più convenientemente Parabole, catenarie e spezzate, ma mi piaceva troppo l’idea di un titolo parodiante, “alla Elio”.

Tutto parte dalla domanda: Se prendo una corda omogenea e la fisso a due punti, che forma assumerà la corda a causa della gravità? Ovvero quale sarà la forma che minimizza l’energia potenziale gravitazionale? Della questione si occupò Galileo, che nel 1638 pubblicò “Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze” dove, nella seconda giornata sembra intendere, erroneamente, che la forma di una fune appesa per i suoi estremi e sotto la forza di gravità, sia una parabola. Ma nella quarta giornata dello stesso dialogo, egli chiarisce inequivocabilmente che la distinzione tra la forma assunta dalla corda e la parabola gli era chiara:

La corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paraboliche: e la similitudine è tanta, che se voi segnerete in una superficie piana ed eretta all’orizonte una linea parabolica, e tenendola inversa, cioè col vertice in giù e con la base parallela all’orizonte, facendo pendere una catenella sostenuta nelle estremità della base della segnata parabola, vedrete, allentando più o meno la detta catenuzza, incurvarsi e adattarsi alla medesima parabola, e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto la segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descritte con elevazioni sotto a i gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra la parabola.

Nel 1691, Huygens, Leibniz e i fratelli Bernoulli dimostrarono che questa curva era una curva non algebrica, che Huygens chiamò “catenaria”.

Formalmente le due curve hanno espressione molto diversa: mentre infatti l’equazione di una parabola con asse verticale (qui supporremo sempre vera questa condizione) è $y=y_0+a(x-x_0)^2$, l’equazione di una catenaria è $y=y_0+\dfrac{\cosh[a(x-x_0)]}{a}$. La funzione coseno iperbolico è così definita: $\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$.
Mi sono chiesto: ma, in pratica, le due curve sono poi così diverse?
Ho creato una simulazione con geogebra partendo dal caso matematicamente più semplice da affrontare, quello in cui i due punti a cui è appesa la corda sono alla stessa altezza, e per semplicità ho scelto i punti $(-1;0)$ e $(1;0)$. Una parabola passante per i due punti avrà equazione del tipo $y_p(x)=k(x^2-1)$, mentre una catenaria passante per i due punti avrà equazione $y_c(x)=\dfrac{\cosh(ax) - \cosh(a)}{a}$. Nel caso limite in cui l’arco di catenaria tende ad un segmento, sia il parametro $a$ che il parametro $k$ tendono a $0$.

Con un cursore scelgo la lunghezza della curva in rapporto alla distanza tra i due punti. Come si determinano i parametri? Sappiamo che la lunghezza di una curva di equazione $y=f(x)$ è data dalla formula $L=\displaystyle\int_a^b \sqrt{1+ f'(x) ^2} \ dx$. Nel caso della parabola si ottiene $$L_p(k)=\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 4k^2x^2} \ dx=\sqrt{4 k^2+1}+\frac{\operatorname{arcsinh}(2 k)}{2 k}\ ,$$ mentre nel caso della catenaria si ha $$L_c(a)=\int_{-1}^{1}\cosh(ax)\ dx=2\ \dfrac{\sinh a}{a}\ .$$

Come si vede, in entrambi i casi, per il valore del parametro che tende a $0$ la lunghezza tende a $2$: è il caso in cui la corda è lunga quanto la distanza fra i due punti a cui è appesa.

Ora però, se fissiamo $L$, le equazioni $L_p(k)=L$ e $L_c(a)=L$ non sono risolvibili analiticamente, ovvero la soluzione non può essere espressa attraverso le funzioni standard che conosciamo. Possiamo sfruttare però una caratteristica un po’ “nascosta” di geogebra che permette di risolvere numericamente le equazioni.

Se con geogebra vogliamo risolvere numericamente un’equazione del tipo $f(x)=k$ è sufficiente creare la funzione $y=f(x)$, la retta $y=k$ e usare lo strumento intersezione. Lo strumento non è perfetto, non sempre è precisissimo e, oltretutto, a volte “manca” l’intersezione se facciamo variare troppo velocemente $k$, ma in particolare ho trovato utile e “stabilizzante” l’utilizzo dell’opzione punto iniziale. Le funzioni e la retta le possiamo sistemare nella finestra “Grafici 2” così da potere dare un’occhiata alla situazione senza fare confusione con il grafico principale.

Per confronto ho anche disegnato la spezzata di uguale lunghezza che passa per i due punti a cui è appesa la corda. Per tutte e tre le forme ho calcolato l’ordinata del baricentro (per simmetria l’ascissa è ovviamente $0$ in tutti i tre casi). Per la spezzata è semplicemente $y_{G,s}=\frac{1}{2}y_{V,s}$ dove $y_{V,s}$ è il punto più basso della spezzata. Per le curve si deve calcolare un integrale: $$y_G=\dfrac1L\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\sqrt{1+ f'(x) ^2} \ dx$$ che può essere valutato simbolicamente sia per la parabola che per la catenaria. Inserisco nel piano i punti corrispondenti ai tre baricentri, attorniati da un piccolo segmento per renderli più facilmente individuabili. 

La catenaria, fra tutte le curve di lunghezza fissata passante per i due punti a cui è appesa la corda, è quella che minimizza l’energia potenziale gravitazionale. Mi sono chiesto quanta energia possiedano le altre due configurazioni rispetto a quella minima. Ho calcolato allora i rapporti fra l’energia della catenaria e quella delle altre due curve. Essendo le energie negative, i rapporti saranno sempre maggiori di $1$. I rapporti sono facilmente calcolabili dai dati già immessi in quanto le energie sono proporzionali alle ordinate dei baricentri. Una volta fatto tutto questo, mi metto a giocare con il cursore e osservo.

Come notò Galileo, se il parametro $\dfrac{L}{L_0}$ è non troppo più grande di $1$, catenaria e parabola sono praticamente indistinguibili. All’aumentare del parametro le forme si differenziano, e si nota che la parabola scende più in basso e ha nel vertice una curvatura maggiore. Ma anche quando le forme di parabola e catenaria sono ben distinguibili, il rapporto $\dfrac{U_c}{U_p}$ resta sempre vicino a $1$, non superandolo mai più del 2,6‰. E infatti anche i baricentri di catenaria e parabola sono sempre quasi sovrapposti, e si può vedere che il baricentro della catenaria è un po’ più in basso dell’altro solo effettuando un forte zoom. Più netto il distacco dall’unità di $\dfrac{U_c}{U_s}$, rapporto fra energie di catenaria e spezzata, che tende ad un valore estremo superiore $\sqrt{\dfrac43}\simeq 1{,}15$ per $\dfrac{L}{L_0}$ che tende a $1$. Per $\dfrac{L}{L_0}$ che tende ad infinito entrambi i rapporti fra le energie tendono a $1$.

E ora, se volete divertirvi anche voi, qui sotto trovate la simulazione fatta con geogebra.

Parabole e papere ‒ atto II: Libertà