Serie senza parole

Da un’idea di Rick Mabry in College Mathematics Journal, vol. 32, no. 1 (Jan. 2001), p. 19. ↪︎https://www.jstor.org/stable/i326600

Pagina di Rick Mabry ↪︎https://lsusmath.rickmabry.org/rmabry/

Pagina dedicata a questa interpretazione grafica ↪︎https://lsusmath.rickmabry.org/rmabry/cake/cake.htm

Parabole e papere ‒ Atto II: Libertà

Come visto nell’Atto I, una catenaria è descritta dall’equazione $y_c=y_0+\dfrac{\cosh[a(x-x_0)]}{a}\ $.

Supponiamo ora di volere scegliere arbitrariamente i due punti a cui è appesa la corda. Chiamo $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ i due punti e chiamo $L$ la lunghezza della corda. Per trovare i parametri $a$, $x_0$ e $y_0$ della catenaria cercata occorre risolvere il seguente sistema:$$ \left\{\begin{array}{l}y_0+ \dfrac{\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_A \\ y_0+\dfrac{\cosh[a(x_B-x_0)]}{a}=y_B \\ \dfrac{\sinh [a (x_B-x_0)]-\sinh [a(x_A-x_0)]}{a} = L \end{array}\right. \ .$$ Un sistema di tre equazioni, risolvibili solo numericamente, è troppo per geogebra,  e peraltro anche software più blasonati (e costosi – geogebra è gratuito) arrancano a risolverlo.

Ma sedendo e mirando, sottraggo intanto la prima equazione dalla seconda e sostituisco l’equazione ottenuta alla seconda, ottenendo il sistema $$\left\{\begin{array}{l} y_0+\dfrac{\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_A \\ \dfrac{\cosh[a(x_B-x_0)]-\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_B-y_A \\ \dfrac{\sinh [a (x_B-x_0)]-\sinh [a(x_A-x_0)]}{a} = L \end{array}\right.$$ che ha la seconda e terza equazione che formano un sottosistema di due equazioni in due incognite.
A questo punto

Parabole e papere ‒ Atto I: Alla stessa altezza

Il titolo del post sarebbe stato più convenientemente Parabole, catenarie e spezzate, ma mi piaceva troppo l’idea di un titolo parodiante, “alla Elio”.

Tutto parte dalla domanda: Se prendo una corda omogenea e la fisso a due punti, che forma assumerà la corda a causa della gravità? Ovvero quale sarà la forma che minimizza l’energia potenziale gravitazionale? Della questione si occupò Galileo, che nel 1638 pubblicò “Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze” dove, nella seconda giornata sembra intendere, erroneamente, che la forma di una fune appesa per i suoi estremi e sotto la forza di gravità, sia una parabola. Ma nella quarta giornata dello stesso dialogo, egli chiarisce inequivocabilmente che la distinzione tra la forma assunta dalla corda e la parabola gli era chiara:

La corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paraboliche: e la similitudine è tanta, che se voi segnerete in una superficie piana ed eretta all’orizonte una linea parabolica, e tenendola inversa, cioè col vertice in giù e con la base parallela all’orizonte, facendo pendere una catenella sostenuta nelle estremità della base della segnata parabola, vedrete, allentando più o meno la detta catenuzza, incurvarsi e adattarsi alla medesima parabola, e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto la segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descritte con elevazioni sotto a i gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra la parabola.

Nel 1691, Huygens, Leibniz e i fratelli Bernoulli dimostrarono che questa curva era una curva non algebrica, che Huygens chiamò “catenaria”.

Formalmente le due curve hanno espressione molto diversa: mentre infatti l’equazione di una parabola con asse verticale (qui supporremo sempre vera questa condizione) è $y=y_0+a(x-x_0)^2$, l’equazione di una catenaria è $y=y_0+\dfrac{\cosh[a(x-x_0)]}{a}$. La funzione coseno iperbolico è così definita: $\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$.
Mi sono chiesto: ma, in pratica, le due curve sono poi così diverse?