Il titolo del post sarebbe stato più convenientemente
Parabole, catenarie e spezzate, ma mi piaceva troppo l’idea di un titolo parodiante, “alla Elio”.
Tutto parte dalla domanda: Se prendo una corda omogenea e la fisso a due punti, che forma assumerà la corda a causa della gravità? Ovvero quale sarà la forma che minimizza l’energia potenziale gravitazionale? Della questione si occupò Galileo, che nel 1638 pubblicò “Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze” dove, nella seconda giornata sembra intendere, erroneamente, che la forma di una fune appesa per i suoi estremi e sotto la forza di gravità, sia una parabola. Ma nella quarta giornata dello stesso dialogo, egli chiarisce inequivocabilmente che la distinzione tra la forma assunta dalla corda e la parabola gli era chiara:
La corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paraboliche: e la similitudine è tanta, che se voi segnerete in una superficie piana ed eretta all’orizonte una linea parabolica, e tenendola inversa, cioè col vertice in giù e con la base parallela all’orizonte, facendo pendere una catenella sostenuta nelle estremità della base della segnata parabola, vedrete, allentando più o meno la detta catenuzza, incurvarsi e adattarsi alla medesima parabola, e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto la segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descritte con elevazioni sotto a i gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra la parabola.
Nel 1691, Huygens, Leibniz e i fratelli Bernoulli dimostrarono che questa curva era una curva non algebrica, che Huygens chiamò “catenaria”.
Formalmente le due curve hanno espressione molto diversa: mentre infatti l’equazione di una parabola con asse verticale (qui supporremo sempre vera questa condizione) è $y=y_0+a(x-x_0)^2$, l’equazione di una catenaria è $y=y_0+\dfrac{\cosh[a(x-x_0)]}{a}$. La funzione coseno iperbolico è così definita: $\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$.
Mi sono chiesto: ma, in pratica, le due curve sono poi così diverse?