Il teorema di Morley

Molte proprietà geometriche fondamentali dei triangoli sono state scoperte nell’antichità e nei secoli passati, ma una particolare proprietà dei triangoli è stata scoperta solo relativamente di recente, se pensiamo alla storia più che bimillenaria della geometria.

figura 1

Nel 1899, infatti, il matematico anglo-statunitense Frank Morley (1860-1937) dimostrò che le trisettrici degli angoli interni di un qualsiasi triangolo si incontrano in tre punti che individuano un triangolo equilatero. Tale teorema, chiamato anche  “miracolo di Morley”, prende in considerazione ben 18 triangoli equilateri e il triangolo che qui consideriamo, quello mostrato in figura 1, è detto “primo triangolo di Morley” (per una visualizzazione dinamica cliccate qui). Qualcuno ha ipotizzato che questo teorema sia “sfuggito” agli antichi greci in quanto la trisezione di un angolo, come è stato dimostrato nel 1837 da Pierre-Laurent Wantzel, non è effettuabile con riga e compasso. La dimostrazione originale di Morley utilizza le proprietà delle curve algebriche tangenti ad un certo numero di rette e, in particolare, i lati dei triangoli equilateri sono i luoghi geometrici dei centri delle cardioidi inscritte nel triangolo di partenza.

I matematici si sono sbizzarriti a trovare dimostrazioni del teorema con gli approcci più diversi (utilizzando i numeri complessi, la trigonometria ed altro, basta fare una ricerca in rete per rendersene conto) ma esiste una dimostrazione del teorema svolta con la “classica” geometria euclidea e che quindi anche gli antichi greci avrebbero potuto elaborare. Quella che riporto qui sotto è la dimostrazione pubblicata da Nancy Walls nel 1944 (qui il suo articolo) con qualche precisazione e spiegazione in più. La dimostrazione è in un certo senso “a ritroso”.

Sia $C_1C_2C_3$ un generico triangolo e siano $\gamma_1$, $\gamma_2$ e $\gamma_3$ i suoi angoli interni. Definiamo $\alpha_1=\frac13\gamma_1$, $\alpha_2=\frac13\gamma_2$ e $\alpha_3=\frac13\gamma_3$. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre $180^\circ$ si avrà che $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=60^\circ$. 

figura 2

Sia dato un triangolo equilatero $P_1P_2P_3$. Costruiamo la circonferenza $S_1$ con la caratteristica che tutti i suoi punti $P$, dalla parte opposta rispetto a $P_1P_2P_3$, siano tali che $\widehat{P_2PP_3}=\alpha_1$. Analogamente costruiamo $S_2$ e $S_3$. Su $S_1$ costruiamo le corde $R_1P_2$ e $Q_1P_3$ congruenti a $P_2P_3$, da un lato e dall’altro dello stesso segmento $P_2P_3$, e analogamente facciamo sulle altre circonferenze. Tracciamo ora le rette che comprendono i segmenti $Q_2R_3$, $Q_3R_1$ e $Q_1R_2$ e siano $X_1$, $X_2$ e $X_3$ i punti in cui si incontrano (risulterà che essi giacciono sulle tre circonferenze, ma ancora non l’abbiamo provato). Congiungiamo $X_1$ con $P_2$ e $P_3$, e facciamo analogamente per $X_2$ e $X_3$. Ora consideriamo alcuni angoli che hanno come vertice $P_1$: si ha $\widehat{P_3P_1Q_2}=180^\circ-2\alpha_2$ e $\widehat{P_2P_1R_3}=180^\circ-2\alpha_3$ per le proprietà degli angoli alla circonferenza, mentre $\widehat{P_2P_1P_3}=60^\circ$ in quanto angolo interno di un triangolo equilatero. Si ha dunque:

$$\widehat{Q_2P_1R_3}=360^\circ-(180^\circ-2\alpha_2)-(180^\circ-2\alpha_3)-60^\circ=2\alpha_2+2\alpha_3-60^\circ=\\=2(\alpha_2+\alpha_3)-60^\circ=2(60^\circ-\alpha_1)-60^\circ=60^\circ-2\alpha_1\ .$$ Poiché il triangolo $P_1Q_2R_3$ è isoscele, gli angoli alla base $\widehat{P_1Q_2R_3}$ e $\widehat{P_1R_3Q_2}$ valgono $\frac12(180^\circ-\widehat{Q_2P_1R_3})=90^\circ-30^\circ+\alpha_1=60^\circ+\alpha_1$. L’angolo $\widehat{X_2Q_2P_1}$, supplementare di $\widehat{P_1Q_2R_3}$, vale dunque $120^\circ-\alpha_1$. Analogamente $\widehat{X_2R_2P_3}$ vale $120^\circ-\alpha_3$. Ora, considerando il pentagono $X_2R_2P_3P_1Q_2$, visto che $\widehat{R_2P_3P_1}=\widehat{P_3P_1Q_2}=180^\circ-2\alpha_2$ e che la somma degli angoli interni di un pentagono è $540^\circ$, troviamo che $$\widehat{R_2X_2Q_2}=540^\circ-(120^\circ-\alpha_3)-2(180^\circ-2\alpha_2)-(120^\circ-\alpha_1)=\\=\alpha_3+4\alpha_2+\alpha_1-60^\circ=(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)-60^\circ+3\alpha_2=3\alpha_2\;.$$ Troviamo dunque che l’angolo $\widehat{R_2X_2Q_2}$ che insiste sull’arco $R_2P_3P_1Q_2$, triplo dell’arco $P_3P_1$, è il triplo di $\alpha_2$, e da ciò discende che $X_2$ giace su $S_2$. Per la congruenza delle corde, e quindi degli archi, deduciamo che gli angoli alla circonferenza $\widehat{R_2X_2P_3}$, $\widehat{P_3X_2P_1}$ e $\widehat{P_1X_2Q_2}$ sono congruenti fra loro e quindi $X_2P_1$ e $X_2P_3$ sono trisettrici dell’angolo $\widehat{X_1X_2X_3}$. Analogamente vale per gli altri angoli del triangolo $X_1X_2X_3$. Il triangolo $X_1X_2X_3$ ha dunque le trisettrici che si incontrano in tre punti che individuano un triangolo equilatero. Ora il triangolo $X_1X_2X_3$ ha gli angoli interni pari a $3\alpha_1$, $3\alpha_2$ e $3\alpha_3$, ovvero pari a $\gamma_1$, $\gamma_2$ e $\gamma_3$, angoli interni del triangolo $C_1C_2C_3$. Il triangolo $C_1C_2C_3$ è dunque simile al triangolo $X_1X_2X_3$ e quindi anche in esso le intersezioni delle trisettrici individuano un triangolo equilatero, Quod Erat Demonstrandum.

In figura 2 è rappresentato un caso in cui gli angoli $\alpha_1$, $\alpha_2$ e $\alpha_3$ sono tutti inferiori a $30^\circ$, il che avviene quando il triangolo di partenza $C_1C_2C_3$ è acutangolo. Nel caso in cui fosse, ad esempio, $\alpha_1=30^\circ$, i punti $Q_2$ ed $R_3$ coinciderebbero e quindi non individuerebbero nessuna segmento e nessuna retta. In tal caso si deve tracciare la retta perpendicolare a $P_1Q_2$ e si ha ancora $\widehat{X_2Q_2P_1}=90^\circ=120^\circ-\alpha_1$. Se invece fosse, ad esempio, $\alpha_1>30^\circ$, i punti $Q_2$ e $R_3$ avrebbero posizioni scambiate rispetto a quelle mostrate in figura 2, ma, rifacendo un ragionamento analogo a quello svolto prima, si ritrova ancora che $\widehat{X_2Q_2P_1}=120^\circ-\alpha_1$.

Il teorema di Morley è valido solo nella geometria euclidea, ovvero quella in cui vige il postulato delle parallele e in cui la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a un angolo piatto. Esso non è valido nella geometria sferica/ellittica e in quella iperbolica.