Il teorema di Morley

Molte proprietà geometriche fondamentali dei triangoli sono state scoperte nell’antichità e nei secoli passati, ma una particolare proprietà dei triangoli è stata scoperta solo relativamente di recente, se pensiamo alla storia più che bimillenaria della geometria.

figura 1

Nel 1899, infatti, il matematico anglo-statunitense Frank Morley (1860-1937) dimostrò che le trisettrici degli angoli interni di un qualsiasi triangolo si incontrano in tre punti che individuano un triangolo equilatero. Tale teorema, chiamato anche  “miracolo di Morley”, prende in considerazione ben 18 triangoli equilateri e il triangolo che qui consideriamo, quello mostrato in figura 1, è detto “primo triangolo di Morley” (per una visualizzazione dinamica cliccate qui). Qualcuno ha ipotizzato che questo teorema sia “sfuggito” agli antichi greci in quanto la trisezione di un angolo, come è stato dimostrato nel 1837 da Pierre-Laurent Wantzel, non è effettuabile con riga e compasso. La dimostrazione originale di Morley utilizza le proprietà delle curve algebriche tangenti ad un certo numero di rette e, in particolare, i lati dei triangoli equilateri sono i luoghi geometrici dei centri delle cardioidi inscritte nel triangolo di partenza.

I matematici si sono sbizzarriti a trovare dimostrazioni del teorema con gli approcci più diversi (utilizzando i numeri complessi, la trigonometria ed altro, basta fare una ricerca in rete per rendersene conto) ma esiste una dimostrazione del teorema svolta con la “classica” geometria euclidea e che quindi anche gli antichi greci avrebbero potuto elaborare. Quella che riporto qui sotto è la dimostrazione pubblicata da Nancy Walls nel 1944 (qui il suo articolo) con qualche precisazione e spiegazione in più. La dimostrazione è in un certo senso “a ritroso”.

L’orso di Coriolis

Mi sono imbattuto in questo indovinello: «Un orso lancia un sasso verso l’alto, ed esso ricade esattamente nel punto da cui è stato lanciato: di che colore è l’orso?». La risposta è che l’orso è bianco in quanto solo ai poli la traiettoria è perfettamente rettilinea. Questo perché, essendo la terra in rotazione rispetto a un sistema inerziale, entrano in gioco le forze “apparenti”: la forza centrifuga e la forza di Coriolis (n.b. si pronuncia coriolìs /kɔrjɔ'lis/).

Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843)

La forza centrifuga si “mescola” naturalmente con la forza dovuta alla gravitazione terrestre e non devìa il moto dalla verticale, mentre quella di Coriolis sì.

L’espressione per la forza di Coriolis è $ \overrightarrow{{F}_{Co}}=-2m\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v} $ dove $\overrightarrow{\omega}$ è il vettore che esprime la velocità angolare terrestre (ed è parallelo all’asse terrestre, orientato da sud a nord), $\overrightarrow v$ è il vettore velocità e $\times$ rappresenta il prodotto vettoriale. La forza di Coriolis è nulla quando i vettori $\overrightarrow{\omega}$ e $\overrightarrow{v}$ sono paralleli, il che, per un lancio verticale, avviene solo ai poli.

E se non siamo in uno dei poli dove ricadrà il sasso? Possiamo rispondere a questa domanda con un approccio perturbativo al prim’ordine in $\omega\ $: supponiamo che il moto verticale resti imperturbato e calcoliamo l’accelerazione aggiuntiva dovuta alla forza di Coriolis. Prendendo un sistema di riferimento con l’asse x rivolto verso ovest, l’asse y rivolto verso sud e l’asse z verticale rivolto verso l’alto, essa risulta avere componente x pari a $a_x=2\omega v_z\cos \lambda$ ($\lambda$ è la latitudine). Chiamando $v_0$ il modulo della velocità iniziale, la legge della componente verticale della velocità è $v_z=v_0-gt$ e quindi si ha $a_x=2\omega (v_0-gt) \cos \lambda$. Integrando otteniamo che $v_x=2\omega(v_0t-\tfrac{1}{2}gt^2)\cos \lambda$ e quindi $x=2\omega(\tfrac{1}{2}v_0t^2-\tfrac{1}{6}gt^3) \cos \lambda$. Sostituendo a $t$ il valore del tempo di volo $t_v=2\dfrac{v_0}{g}$ otteniamo che il sasso arriva al suolo a una distanza $$\Delta x=\dfrac{4 v_0^3}{3g^2}\omega \cos \lambda$$ dal punto di lancio, verso ovest.