sabato 31 luglio 2021

Tennis markoviano / deuce

Abbiamo due tennisti, che indicherò con le lettere maiuscole P e Q, che nel corso di un gioco sono arrivati ad una situazione di parità o deuce. Se chiamo $p$ e $q$ le rispettive probabilità di segnare un punto (ovviamente $p,q>0\ \land\ p+q=1$), quanti punti in media dovranno essere giocati affinché il gioco termini?
La situazione può essere rappresentata da questa figura. Se chiamo $n$ il numero di punti da giocare prima che il gioco termini e $\overline n$ il numero medio di questi punti, avrò una probabilità $p^2$ che sia $n=2$, una probabilità $q^2$ che sia $n=2$ e una probabilità $2pq$ che in media sia $n=\overline n+2$. Posso dunque scrivere: $\overline n=2p^2+2q^2+2pq(\overline n+2)$. Risolvendo per $\overline n$ ottengo $\overline n=2\ \dfrac{p^2+2pq+q^2}{1-2pq}=\dfrac2{p^2+q^2}$ dove ho tenuto conto del fatto che $p^2+2pq+q^2=(p+q)^2=1$. Si ha il massimo per $\overline n$ quando $p=q=1/2$ e allora $\overline n=4$. Quanto maggiore è la differenza in valore assoluto fra $p$ e $q$, tanto più $\overline n$ si avvicina a $2$.
E… se volessi sapere qualcosa di più? ad esempio qual è la probabilità che il gioco si chiuda in $4$, $6$, $8$, eccetera punti? Qual è la varianza? E quali sono le probabilità che sia P o Q a vincere? Possiamo utilizzare le matrici di Markov.

mercoledì 28 luglio 2021

FratTartaglia

Il triangolo di Tartaglia nasconde una struttura frattale quando andiamo a discriminare fra elementi pari e dispari. Considerando le prime $2^n$ righe, per $n$ che tende a infinito otteniamo il triangolo di Sierpiński.

lunedì 26 luglio 2021

Perché i segnali superluminali sono “proibiti” dalla relatività.

Supponiamo di potere inviare un segnale a velocità maggiore di quella della luce, $c$. Supponiamo ad esempio di essere in un sistema inerziale $S$ e di inviare dall’origine degli assi un segnale lungo l’asse $x$ con velocità $v_S>c$ in direzione concorde al verso dell’asse $x$. La traiettoria del segnale avrà equazione $x(t)=v_S\ t$ con evento iniziale $(x_i,t_i)=(0,0)$ ed evento finale $(x_f,t_f)=(d,d/v_S)$.
Consideriamo ora un sistema $S'$ con gli assi paralleli a quelli di $S$ e che si muova con velocità $v$ lungo l’asse $x$ del sistema $S$, in direzione concorde al verso dell’asse $x$. Le trasformazioni di Lorentz sono: $$\left\{ \begin{array}{l}x'=\gamma\ (x-v\ t) \\ t'=\gamma\ (t-v\ x/c^2) \end{array}\right.\ .$$Se $v_S>c$ posso scegliere $v<c$ in modo che sia $v_S\ v>c^2$: ad esempio supponiamo che sia $v_S=3/2c$, e scegliamo $v=3/4c$. Allora per il sistema $S'$ avrò $t'_i=0$ e $t'_f=-\gamma\ d/(12 c)$. In sostanza nel sistema $S'$ l’arrivo del segnale avviene prima della partenza del segnale. Ma questo viola il principio per cui la causa deve sempre precedere l’effetto, e renderebbe possibile trasmettere segnali indietro nel tempo, con tutte le contraddizioni logiche che questo comporterebbe.

giovedì 22 luglio 2021

Perché oggi è il vero π day

 Il ventidue luglio è il vero $\pi$ day, per almeno tre motivi:

  1. La data non dipende dal sistema di numerazione usato. Se avessimo quattro dita per mano e usassimo un sistema di numerazione posizionale in base otto si avrebbe $\pi\simeq3{,}11_8$ e quindi il $\pi$ day “americano” cadrebbe il nove $(11_8)$ marzo. Se le dita per mano fossero sei e la base fosse dodici si avrebbe invece $\pi\simeq3{,}18_{12}$ e il $\pi$ day “americano” cadrebbe il venti $(18_{12})$ marzo.
  2. $22/7$ è la approssimazione a cui il nostro Archimede è arrivato dopo una fatica immane ed avere calcolato che $\pi$ è minore di

    e quest’ultimo numero, semiperimetro di un poligono regolare di $96$ lati circoscritto ad una circonferenza di raggio unitario, e che oggi sappiamo valere circa $3{,}142715$, lo ha approssimato a $22/7=3{,}\overline{142857}$ con un errore pari a solo lo $0{,}0045\%$. Vogliamo premiare e commemorare la sua impresa? Considerate poi che gli antichi Greci indicavano i numeri con le lettere dell’alfabeto e pensate alla difficoltà anche solo di fare una addizione, figuriamoci estrarre una radice quadrata!
  3. $22/7$ è la frazione continua di $\pi$ troncata al secondo termine, quindi è una approssimazione ottimale, al contrario di $3{,}14=314/100$.
E quindi:
BUON $\pi$ DAY A TUTTI!!!



mercoledì 21 luglio 2021

Il gioco dei pacchi 🎁

In una nuova trasmissione televisiva viene fatto questo gioco: vi sono 20 concorrenti, ognuno con un pacco contenente un assegno con una cifra in euro. Viene estratto un concorrente: questi farà aprire un pacco a sua scelta e poi dovrà prendere una decisione: scegliere il pacco appena aperto oppure andare avanti e farne aprire un altro, e così via. Un pacco scartato non potrà più essere scelto. Se nessuno dei pacchi degli altri concorrenti verrà scelto, il concorrente sceglierà forzatamente il proprio pacco (dal valore inizialmente sconosciuto come tutti gli altri). Il concorrente si porterà a casa l’ammontare corrispondente al pacco scelto. Qual è la strategia che massimizza la probabilità di scegliere il pacco dal maggior valore? È da sottolineare che non si ha alcuna informazione sui valori degli assegni, l’unica cosa che si può fare è confrontare i contenuti dei pacchi fra loro.

mercoledì 14 luglio 2021

Il teorema di Goldbach e il problema delle divergenze

Consideriamo le potenze dei numeri interi positivi (tralasciando i casi banali in cui la base o l’esponente sono $1$): se le prendiamo considerando le ripetizioni (ad esempio prendiamo due volte $4^2=2^4$, oppure $9^2=3^4$, ecc.), e sommiamo i reciproci otteniamo $1$. Se invece le prendiamo senza ripetizioni e sommiamo i reciproci otteniamo – sorprendentemente – lo stesso risultato. In linguaggio matematico, definiamo l’insieme $S$ delle potenze non banali: $S=\{m^n\ |\ m,n\in\mathbb N \land m,n\geq2\}$, e si ha:$$\sum_{p\in S}\frac{1}{p-1}=1=\sum_{m,n=2}^\infty\ \frac{1}{m^n}$$La dimostrazione della prima identità, chiamata teorema di Goldbach o di Goldbach-Eulero, fu pubblicata da Eulero nel 1737 nell’articolo Variae observationes circa series infinitas e attribuita ad una lettera (ora perduta) ricevuta da Goldbach $[\mathrm{GEwiki}]$. La dimostrazione (vedi $[\mathrm{Bib2006]}$) fa un uso “spregiudicato” della serie armonica ($1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots$), assegnando un valore finito ad una serie divergente, ed Eulero era ben consapevole che fosse divergente ! Tuttavia il suo intuito (e stiamo parlando di uno dei massimi genî matematici di tutti i tempi) lo portava a pensare che avrebbe comunque ottenuto un risultato valido. La dimostrazione di Goldbach è stata in seguito resa rigorosa considerando le serie parziali della serie armonica ed effettuando poi il passaggio al limite.

sabato 3 luglio 2021

Media potenziata

Siano $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb R^+$ e $x\in\mathbb R$: definiamo la funzione $$M_x(a_1,\ldots,a_n)= \left\{ \begin{array}{ll}\left(\displaystyle{\frac{a_1^{\ x}+a_2^{\ x}+\ldots+a_n^{\ x}}{n}} \right)^{1/x}, & x \ne 0 \\ \\ \displaystyle{\lim_{t\to0}M_t(a_1,\ldots,a_n)}\ , & x=0 \end{array} \right.$$
$M_1$ corrisponde alla media aritmetica, $M_2$ al valore quadratico medio, $M_{-1}$ alla media armonica.
  1. Dimostrare che $M_0$ corrisponde alla media geometrica;
  2. Dimostrare che se $x<y$ allora $M_x(a_1,\ldots,a_n)\leq M_y(a_1,\ldots,a_n)$ dove vale l’uguale se e solo se $a_1=a_2=\ldots=a_n$;
  3. Calcolare $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}M_x(a_1,\ldots,a_n)}$;
  4. Calcolare $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}M_x(a_1,\ldots,a_n)}$.

venerdì 2 luglio 2021

Tolomeo in campo complesso

La disuguaglianza di Tolomeo (ca. 100-175) afferma che per ogni quadrilatero $AXBY$ vale la disuguaglianza $AX\cdot BY+BX\cdot AY\geq AB\cdot XY$ dove vale l’uguale se e solo se il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.
Vediamo di dimostrare questo teorema facendo uso dei numeri complessi. Poniamo l’incrocio delle diagonali nell’origine del piano complesso e una diagonale sull’asse reale. I quattro vertici del qua­dri­la­te­ro saranno $A(a)$, $X(x\ e^{i\theta})$, $B(-b)$ e $Y(-y\ e^{i\theta})$ dove $a$, $b$, $x$ e $y$ sono numeri reali positivi e $\theta \in (0,\pi)$.  Userò le lettere $A$, $B$, $X$ e $Y$ sia per indicare i punti sia per indicare i numeri com­ples­si ad essi associati, e sarà il contesto a chiarire il significato da attribuire loro.

mercoledì 30 giugno 2021

Matriciana alla Fibonacci

Consideriamo questa matrice: $$W=\left( \begin{array}{ccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 & \cdots\\ 4 & 7 & 11 & 18 & 29 & 47 & 76 & 123 & 199 & 322 & \cdots\\ 6 & 10 & 16 & 26 & 42 & 68 & 110 & 178 & 288 & 466 & \cdots\\ 9 & 15 & 24 & 39 & 63 & 102 & 165 & 267 & 432 & 699 & \cdots\\ 12 & 20 & 32 & 52 & 84 & 136 & 220 & 356 & 576 & 932 & \cdots \\ 14 & 23 & 37 & 60 & 97 & 157 & 254 & 411 & 665 & 1076 & \cdots \\ 17 & 28 & 45 & 73 & 118 & 191 & 309 & 500 & 809 & 1309 & \cdots \\ 19 & 31 & 50 & 81 & 131 & 212 & 343 & 555 & 898 & 1453 & \cdots \\ 22 & 36 & 58 & 94 & 152 & 246 & 398 & 644 & 1042 & 1686 & \cdots\\ 25 & 41 & 66 & 107 & 173 & 280 & 453 & 733 & 1186 & 1919 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right)$$
Come noterete, la prima riga è formata dalla successione di Fibonacci partendo da $F_2$. Ogni riga è costruita in questo modo: $W_{n,1}=\left \lfloor\left \lfloor  n \varphi \right \rfloor \varphi \right \rfloor$ e $W_{n,2}=\left \lfloor\left \lfloor  n \varphi \right \rfloor \varphi^2 \right \rfloor$ dove i simboli $\lfloor\ \rfloor$ indicano la funzione pavimento, ovvero, in parole povere, il numero privato degli eventuali decimali dopo la virgola (più formalmente, il maggior numero intero minore o uguale alla quantità compresa fra i simboli $\lfloor$ e $\rfloor$) e $\varphi$ è il rapporto aureo. Gli elementi successivi di ogni riga si costruiscono con la regola ricorsiva di Fibonacci: $W_{i,n+3}=W_{i,n+2}+W_{i,n+1}$. 
L’elemento generico della matrice può anche essere calcolato con la formula $W_{m,n}=(m-1)F_n+\lfloor m\varphi\rfloor F_{n+1}$.

domenica 27 giugno 2021

La matematica delle api

Come tutti sappiamo, le cellette delle api sono esagonali e sappiamo che in questo modo il piano può essere tassellato minimizzando, a parità di area della singola cella, il perimetro delle celle e quindi la quantità di cera utilizzata. La tassellatura esagonale richiede un consumo di cera del 18% inferiore rispetto a quella triangolare e del 7% inferiore rispetto a quella quadrata.
La cera è una sostanza rara e dispendiosa: 1 kg di cera richiede il lavoro di secrezione di circa 150'000 api ed al consumo di ben 12 kg di miele. È quindi essenziale che la quantità di cera impiegata per fare gli alveari sia la minore possibile e la quantità di miele contenuta la maggiore possibile. Ma… il fondo delle cellette come è fatto? Forse non tutti sanno che… non è piatto, è formato da tre rombi. Così, i due tipi di cellette che hanno aperture in direzioni opposte, non sono separate da un piano, come uno si aspetterebbe, ma da una superficie a zigzag. I prismi esagonali da una parte sono sfalsati rispetto a quelli dall’altra parte.
Keplero aveva dedotto dalla simmetria e dalla proprietà di riempire lo spazio di un alveare che i suoi angoli dovevano essere quelli del dodecaedro rombico, ma la scoperta passò inosservata.
Anni dopo, Giacomo Maraldi (1665-1729) si diede allo studio degli alveari e realizzò il primo alveare con una parete di vetro per potere osservare le api all’opera. Nel 1712, misurò gli angoli dei rombi trovando che gli angoli ottusi erano circa di $110^\circ$, ricavando, supponendo forme simili a quelle di un dodecaedro rombico, che fossero di $109^\circ28'$ (lo stesso angolo che formano lamine di sapone in una gabbia tetraedrica), e quindi gli angoli acuti di $70^\circ32'$.¹ 

venerdì 25 giugno 2021

Fibonacci alla matriciana

Conosciamo tutti i numeri di Fibonacci (1170-1242), vero? $0$, $1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$, $\ldots\ $
Sono definiti da $F_0=0$, $F_1=1$ e $F_{n+2}=F_{n+1}-F_n, \forall n \in \mathbb N$. Esiste un modo per calcolare $F_n$ senza dovere prima calcolare tutti i precedenti numeri di Fibonacci? Sì, e per trovarlo usiamo le matrici.
In particolare definiamo la matrice $M=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right )$ e calcoliamo le sue potenze: $$ M^2=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right ),\  M^3=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right ),\  M^4=\left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} \right )\ \ldots$$ Come si vede, viene da supporre gli elementi di $M^n$ siano formati dai numeri $F_{n+1}$, $F_n$ e $F_{n-1}$. Possiamo dimostrarlo formalmente per induzione: si ha infatti $M^1=\left( \begin{array}{cc} F_2 & F_1 \\ F_1 & F_0 \end{array} \right)$ e supponiamo che per $1\leq k\leq n$ si abbia $M^k=\left( \begin{array}{cc} F_{k+1} & F_k \\ F_k & F_{k-1} \end{array} \right)$: si avrà allora $$M^{n+1}=M^n\cdot M=\left( \begin{array}{cc} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)=\\ \ \\=\left( \begin{array}{cc} F_{n+1}+F_n & F_{n+1} \\  F_n+F_{n-1} & F_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} F_{n+2} & F_{n+1} \\ F_{n+1} & F_n \end{array} \right),$$che prova la nostra supposizione.

martedì 22 giugno 2021

Una discreta diffusione

Facciamo questo strano gioco dell’oca: a $t=0$ sei in posizione $x=0$. Lanci due monete. Se esce una doppia testa a $t+1$ fai un passo verso $x+1$, se esce doppia croce fai un passo verso $x-1$, se esce testa e croce stai fermo. Come cambia la distribuzione di probabilità in funzione del tempo? È una distribuzione binomiale e, come si vede nel video, la distribuzione si avvicina sempre di più a una gaussiana con la varianza proporzionale al tempo. È di fatto una versione discreta del fenomeno di diffusione (del calore, delle molecole di un gas…) e l’equazione alle differenze finite della funzione di probabilità è del tutto analoga all’equazione differenziale della diffusione.

venerdì 18 giugno 2021

Machin-azione per spaccare il caπello in 4

Per calcolare $\pi$ il noto siceliota Archimede (287 a.C.–212 a.C.) utilizzò come valori limitanti il semiperimetro dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza di raggio unitario e quello dei poligoni regolari circoscritti alla stessa circonferenza. In particolare, conoscendo $l_n$, lato del poligono inscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $l_{2n}$ e analogamente conoscendo $L_n$, lato del poligono circoscritto con $n$ lati, è possibile ricavare $L_{2n}$. Si parte da $l_6=1$ e $L_6=2/\sqrt3$.

Questo metodo ha due grandi svantaggi: il primo è il dovere calcolare radici quadrate (avete mai sperimentato l’ebbrezza di calcolare una radice quadrata con carta e penna? e tenete conto che noi abbiamo il sistema decimale, i Greci non l’avevano) e il secondo è la lentissima convergenza: ad ogni raddoppio dei lati l’errore diminuisce solo di un fattore circa uguale a $4$. D’altronde, all’epoca non c’era altro, sicché Archimede si dovette accontentare. Con un poligono inscritto di $96$ lati Archimede stabilì che $\pi>3+10/71$, e con un poligono circoscritto di altrettanti lati che $\pi<3+1/7$. In notazione decimale noi scriveremmo $3{,}1408<\pi<3{,}1428$.

martedì 15 giugno 2021

Squadrature: ancora tu, non mi sorπrende lo sai…

Ogni numero naturale $n$ diverso da 0 può essere espresso in modo unico come prodotto di potenze di numeri primi (teorema fondamentale dell’aritmetica): $$n = \prod_{k=1}^{\infty}p_k^{e_k}=2^{e_1}\times3^{e_2}\times5^{e_3}\times\ldots$$ dove gli $e_k$ sono numeri naturali.
Scelto a caso un numero naturale diverso da zero, qual è la probabilità che si abbia $\max\{e_k\}<2$, ovvero che nessun esponente superi $1$? Il quesito  può essere riformulato così: qual è la probabilità che un numero naturale diverso da zero non sia multiplo di un quadrato (escluso il quadrato di $1$ ovviamente) ?
Ragionando al contrario, qual è invece la probabilità che un numero sia un multiplo, ad esempio, di $2^2=4$? è $\dfrac{1}{4}$, quindi la probabilità che non sia un multiplo di $4$ è $1-\dfrac{1}{4}$. E qual è la probabilità che non sia un multiplo di $3^2=9$? è $1-\dfrac{1}{9}$. Poiché le singole probabilità sono indipendenti, la probabilità che un numero n non sia multiplo di alcun quadrato porta alla stessa produttoria vista nel post sulla coπrimalità. E quindi la probabilità cercata è ancora $$p=\dfrac{1}{\zeta(2)}=\dfrac{6}{\pi^2}\simeq60{,}8\%\ .$$

sabato 5 giugno 2021

Coπrimalità

Presi due numeri naturali maggiori di $1$, qual è la probabilità che essi siano coprimi, ovvero che il loro massimo comun divisore sia $1$?
La risposta è sorprendente: la probabilità è $p=\dfrac{1}{\zeta(2)}=\dfrac{6}{\pi^2}\simeq 60{,}8\%\ $ ($\zeta$ è la funzione zeta di Riemann), la dimostrazione è data in calce al post.
Ho provato a “verificare sul campo” questo valore, considerando $n$ numeri da $2$ a $n+1$ e contando quante sono le coppie ordinate $(a,b)$ di numeri coprimi, con $2\leq a,b \leq n+1$. Chiamo $c(n)$ il numero di queste coppie. Il rapporto $c(n)/n^2$ dovrebbe convergere a $\dfrac{6}{\pi^2}$ al tendere di $n$ a infinito. Le immagini qui sotto testimoniano che questo in effetti accade.

giovedì 27 maggio 2021

Serie senza parole

Da un’idea di Rick Mabry in College Mathematics Journal, vol. 32, no. 1 (Jan. 2001), p. 19. ↪︎https://www.jstor.org/stable/i326600
Pagina di Rick Mabry ↪︎https://lsusmath.rickmabry.org/rmabry/
Pagina dedicata a questa interpretazione grafica ↪︎https://lsusmath.rickmabry.org/rmabry/cake/cake.htm




lunedì 17 maggio 2021

Parabole e papere ‒ Atto II: Libertà

Come visto nell’Atto I, una catenaria è descritta dall’equazione $y_c=y_0+\dfrac{\cosh[a(x-x_0)]}{a}\ $.
Supponiamo ora di volere scegliere arbitrariamente i due punti a cui è appesa la corda. Chiamo $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ i due punti e chiamo $L$ la lunghezza della corda. Per trovare i parametri $a$, $x_0$ e $y_0$ della catenaria cercata occorre risolvere il seguente sistema:$$ \left\{\begin{array}{l}y_0+ \dfrac{\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_A \\ y_0+\dfrac{\cosh[a(x_B-x_0)]}{a}=y_B \\ \dfrac{\sinh [a (x_B-x_0)]-\sinh [a(x_A-x_0)]}{a} = L \end{array}\right. \ .$$ Un sistema di tre equazioni, risolvibili solo numericamente, è troppo per geogebra,  e peraltro anche software più blasonati (e costosi – geogebra è gratuito) arrancano a risolverlo.
Ma sedendo e mirando, sottraggo intanto la prima equazione dalla seconda e sostituisco l’equazione ottenuta alla seconda, ottenendo il sistema $$\left\{\begin{array}{l} y_0+\dfrac{\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_A \\ \dfrac{\cosh[a(x_B-x_0)]-\cosh[a(x_A-x_0)]}{a}= y_B-y_A \\ \dfrac{\sinh [a (x_B-x_0)]-\sinh [a(x_A-x_0)]}{a} = L \end{array}\right.$$ che ha la seconda e terza equazione che formano un sottosistema di due equazioni in due incognite.
A questo punto

lunedì 10 maggio 2021

Parabole e papere ‒ Atto I: Alla stessa altezza

Il titolo del post sarebbe stato più convenientemente Parabole, catenarie e spezzate, ma mi piaceva troppo l’idea di un titolo parodiante, “alla Elio”.
Tutto parte dalla domanda: Se prendo una corda omogenea e la fisso a due punti, che forma assumerà la corda a causa della gravità? Ovvero quale sarà la forma che minimizza l’energia potenziale gravitazionale? Della questione si occupò Galileo, che nel 1638 pubblicò “Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze” dove, nella seconda giornata sembra intendere, erroneamente, che la forma di una fune appesa per i suoi estremi e sotto la forza di gravità, sia una parabola. Ma nella quarta giornata dello stesso dialogo, egli chiarisce inequivocabilmente che la distinzione tra la forma assunta dalla corda e la parabola gli era chiara:
La corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paraboliche: e la similitudine è tanta, che se voi segnerete in una superficie piana ed eretta all’orizonte una linea parabolica, e tenendola inversa, cioè col vertice in giù e con la base parallela all’orizonte, facendo pendere una catenella sostenuta nelle estremità della base della segnata parabola, vedrete, allentando più o meno la detta catenuzza, incurvarsi e adattarsi alla medesima parabola, e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto la segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descritte con elevazioni sotto a i gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra la parabola.
Nel 1691, Huygens, Leibniz e i fratelli Bernoulli dimostrarono che questa curva era una curva non algebrica, che Huygens chiamò “catenaria”.
Formalmente le due curve hanno espressione molto diversa: mentre infatti l’equazione di una parabola con asse verticale (qui supporremo sempre vera questa condizione) è $y=y_0+a(x-x_0)^2$, l’equazione di una catenaria è $y=y_0+\dfrac{\cosh[a(x-x_0)]}{a}$. La funzione coseno iperbolico è così definita: $\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$.
Mi sono chiesto: ma, in pratica, le due curve sono poi così diverse?

mercoledì 21 aprile 2021

Il teorema di Morley

Molte proprietà geometriche fondamentali dei triangoli sono state scoperte nell’antichità e nei secoli passati, ma una particolare proprietà dei triangoli è stata scoperta solo relativamente di recente, se pensiamo alla storia più che bimillenaria della geometria.
figura 1
Nel 1899, infatti, il matematico anglo-statunitense Frank Morley (1860-1937) dimostrò che le trisettrici degli angoli interni di un qualsiasi triangolo si incontrano in tre punti che individuano un triangolo equilatero. Tale teorema, chiamato anche  “miracolo di Morley”, prende in considerazione ben 18 triangoli equilateri e il triangolo che qui consideriamo, quello mostrato in figura 1, è detto “primo triangolo di Morley” (per una visualizzazione dinamica cliccate qui). Qualcuno ha ipotizzato che questo teorema sia “sfuggito” agli antichi greci in quanto la trisezione di un angolo, come è stato dimostrato nel 1837 da Pierre-Laurent Wantzel, non è effettuabile con riga e compasso. La dimostrazione originale di Morley utilizza le proprietà delle curve algebriche tangenti ad un certo numero di rette e, in particolare, i lati dei triangoli equilateri sono i luoghi geometrici dei centri delle cardioidi inscritte nel triangolo di partenza.
I matematici si sono sbizzarriti a trovare dimostrazioni del teorema con gli approcci più diversi (utilizzando i numeri complessi, la trigonometria ed altro, basta fare una ricerca in rete per rendersene conto) ma esiste una dimostrazione del teorema svolta con la “classica” geometria euclidea e che quindi anche gli antichi greci avrebbero potuto elaborare. Quella che riporto qui sotto è la dimostrazione pubblicata da Nancy Walls nel 1944 (qui il suo articolo) con qualche precisazione e spiegazione in più. La dimostrazione è in un certo senso “a ritroso”.

venerdì 16 aprile 2021

L’orso di Coriolis

Mi sono imbattuto in questo indovinello: «Un orso lancia un sasso verso l’alto, ed esso ricade esattamente nel punto da cui è stato lanciato: di che colore è l’orso?». La risposta è che l’orso è bianco in quanto solo ai poli la traiettoria è perfettamente rettilinea. Questo perché, essendo la terra in rotazione rispetto a un sistema inerziale, entrano in gioco le forze “apparenti”: la forza centrifuga e la forza di Coriolis (n.b. si pronuncia coriolìs /kɔrjɔ'lis/).
Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843)

La forza centrifuga si “mescola” naturalmente con la forza dovuta alla gravitazione terrestre e non devìa il moto dalla verticale, mentre quella di Coriolis sì.
L’espressione per la forza di Coriolis è $ \overrightarrow{{F}_{Co}}=-2m\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v} $ dove $\overrightarrow{\omega}$ è il vettore che esprime la velocità angolare terrestre (ed è parallelo all’asse terrestre, orientato da sud a nord), $\overrightarrow v$ è il vettore velocità e $\times$ rappresenta il prodotto vettoriale. La forza di Coriolis è nulla quando i vettori $\overrightarrow{\omega}$ e $\overrightarrow{v}$ sono paralleli, il che, per un lancio verticale, avviene solo ai poli.
E se non siamo in uno dei poli dove ricadrà il sasso? Possiamo rispondere a questa domanda con un approccio perturbativo al prim’ordine in $\omega\ $: supponiamo che il moto verticale resti imperturbato e calcoliamo l’accelerazione aggiuntiva dovuta alla forza di Coriolis. Prendendo un sistema di riferimento con l’asse x rivolto verso ovest, l’asse y rivolto verso sud e l’asse z verticale rivolto verso l’alto, essa risulta avere componente x pari a $a_x=2\omega v_z\cos \lambda$ ($\lambda$ è la latitudine). Chiamando $v_0$ il modulo della velocità iniziale, la legge della componente verticale della velocità è $v_z=v_0-gt$ e quindi si ha $a_x=2\omega (v_0-gt) \cos \lambda$. Integrando otteniamo che $v_x=2\omega(v_0t-\tfrac{1}{2}gt^2)\cos \lambda$ e quindi $x=2\omega(\tfrac{1}{2}v_0t^2-\tfrac{1}{6}gt^3) \cos \lambda$. Sostituendo a $t$ il valore del tempo di volo $t_v=2\dfrac{v_0}{g}$ otteniamo che il sasso arriva al suolo a una distanza $$\Delta x=\dfrac{4 v_0^3}{3g^2}\omega \cos \lambda$$ dal punto di lancio, verso ovest.