giovedì 18 ottobre 2018

Il moto dei pianeti intorno al sole

Alcuni anni fa venne pubblicato un libro che ricostruiva una lezione di Feynman che si era “perduta” e non era andata a finire nella sua leggendaria “Fisica”. In quella lezione Feynman, senza ricorrere al calcolo differenziale ma con argomentazioni essenzialmente geometriche, dimostrava la Seconda e poi la Prima legge di Keplero a partire dalla legge di gravitazione universale di Newton.
Recentemente 3blue1brown ha pubblicato su youtube un filmato d’animazione che riprende i ragionamenti di Feynman.
Il filmato è molto bello (come tutti quelli di 3blue1brown, del resto) e d’effetto anche se, a mio parere, il ragionamento finale viene sintetizzato troppo succintamente e richiede un piccolo “atto di fede” (il libro argomenta più in dettaglio).
Una delle cose più interessanti che ci racconta la trattazione di Feynman è che, anche se il moto del pianeta non è circolare, comunque la punta del vettore velocità percorre una circonferenza o un arco di circonferenza.
Per conto mio ho realizzato un’applet geogebra che simula il moto di un corpo soggetto alla forza di gravitazione universale, supponendo la sua massa trascurabile rispetto alla massa che genera l’attrazione gravitazionale. Si può scegliere la posizione iniziale e la velocità iniziale. L’opzione edit v@O permette di scegliere un vettore velocità con punta sulla griglia di geogebra, il che consente di scegliere particolari valori di $\vec{v_0}$ nel caso si voglia simulare un moto con energia meccanica nulla o momento angolare nullo (e in quest’ultimo caso la traiettoria sarà rettilinea e le velocità non descriveranno, ovviamente, una circonferenza). Nella parte destra della schermata vengono rappresentati i vettori velocità. Come si vede, il vettore forza è sempre tangente alla circonferenza descritta dal vettore velocità.
Nelle immagini allegate al post (cliccare per vederle ad alta risoluzione) ho sintetizzato le formule che riguardano il moto (vi sono in tutto sei possibilità, a seconda dei valori di E e L). A parte casi particolari, non è possibile esprimere la posizione del corpo attraverso composizione di funzioni elementari del tempo, ma è possibile esprimere il tempo come composizione di funzioni elementari di un parametro legato alla posizione. Facendo risolvere numericamente a geogebra l’equazione che lega tempo e posizione è quindi possibile determinare la posizione del corpo ad un certo istante $t$.
Per visualizzare la applet di geogebra cliccare sulla prima immagine qui sotto.










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