Similmente a quanto fatto per la funzione seno, esaminiamo la funzione tangente come trasformazione del piano complesso.
Intanto cerchiamo di trovare un’espressione semplice della tangente complessa in cui si evidenzino parte reale e parte immaginaria: $$z=x+iy=f(w)=\tan(u+iv)=\frac{\sin(u+iv)}{\cos(u+iv)}=$$ $$=\frac{\sin u \cosh v+i\cos u\sinh v}{\cos u \cosh v+i\sin u\sinh v}=\ldots=\frac{\sin u \cos u + i \sinh v \cosh v}{\cos^2 u \cosh^2 v+ \sin^2 u \sinh^2 v}=\ldots$$ $$=\frac{\sin 2u + i \sinh 2v}{\cos 2u + \cosh 2v}$$
(i passaggi sono lasciati al lettore come esercizio 😉).
L’equazione della trasformazione in forma vettoriale è dunque: $$(x,y)=\frac{(\sin 2u , \sinh 2v)}{\cos 2u + \cosh 2v}.$$
Per la periodicità della funzione tangente, possiamo restringerci alla striscia di piano complesso con $\operatorname{Re}(w) \in [-\pi/2, \pi/2]$. Mettiamo tutto dentro geogebra e vediamo che accade:
Otteniamo due famiglie di circonferenze e archi di circonferenze. Per dimostrarlo, consideriamo la funzione inversa. Se $z=\tan w$ si ha dunque $$z=\frac{\sin w}{\cos w}=\frac{\ \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}\ }{\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{i (e^{iw}+e^{-iw})}=\frac{e^{2iw}-1}{i (e^{2iw}+1)}\ .$$
Risolvendo per $w=u+iv$ troviamo:
$$e^{2iw}=\frac{i-z}{i+z} \rightarrow w=\frac{1}{2i}\log\left(\frac{i-z}{i+z} \right)=\frac{1}{2i}\left [ \log\left | \frac{i-z}{i+z}\right | +i \arg \left( \frac{i-z}{i+z} \right )\right ].$$
Abbiamo dunque per la funzione inversa:
$$\left\{ \begin{array}{l} u=\frac{1}{2}\arg \left( \frac{i-z}{i+z} \right ) \\ v=-\frac{1}{2}\log\left | \frac{i-z}{i+z}\right |\end{array} \right.\ .$$
Confrontando con la figura a fianco, osserviamo che $u$ è la metà di $\theta$, che a sua volta è supplementare ad $\alpha$. Le rette verticali con $u$ costante vengono quindi trasformate in curve per cui l’angolo $\widehat{APB}$ è costante, ovvero in archi di circonferenze passanti per $A$ e $B$ (questo è legato alla proprietà degli angoli alla circonferenza). Le rette orizzontali con $v$ costante vengono invece trasformate in curve per cui $\left| \dfrac{i-z}{i+z} \right|=\dfrac{PA}{PB}$ è costante, ed è facile dimostrare analiticamente che si tratta di circonferenze (o della retta coincidente con l’asse orizzontale).
Confrontando con la figura a fianco, osserviamo che $u$ è la metà di $\theta$, che a sua volta è supplementare ad $\alpha$. Le rette verticali con $u$ costante vengono quindi trasformate in curve per cui l’angolo $\widehat{APB}$ è costante, ovvero in archi di circonferenze passanti per $A$ e $B$ (questo è legato alla proprietà degli angoli alla circonferenza). Le rette orizzontali con $v$ costante vengono invece trasformate in curve per cui $\left| \dfrac{i-z}{i+z} \right|=\dfrac{PA}{PB}$ è costante, ed è facile dimostrare analiticamente che si tratta di circonferenze (o della retta coincidente con l’asse orizzontale).Per la cronaca, le due famiglie di curve rappresentano anche le superfici equipotenziali e le linee di forza generate da due fili rettilinei paralleli con densità di carica opposte.
Come avviene per una trasformazione conforme, ogni curva di una famiglia incontra ortogonalmente le curve dell’altra famiglia.
Le due famiglie di curve possono anche essere viste come le proiezioni stereografiche di meridiani e paralleli da un punto appartenente all’equatore su un piano passante per i poli.
Le curve possono essere considerate anche come linee di livello e di massima pendenza della funzione inversa.
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