Complesse innocenti iterazioni

Parliamo dell’insieme matematico forse più famoso, sicuramente il più... graficato: l’insieme di Mandelbrot (che chiameremo $\mathcal{M}$). Siamo nel piano complesso, e consideriamo un punto di coordinate $c=x+iy$. Consideriamo la successione $\{z_n\}$ così definita: $z_0=0$ e $z_{k+1}={z_k}^2+c$ per $k>0$. Si ha che $c$ appartiene a $\mathcal{M}$ se e solo se la successione non diverge, ovvero è limitata in modulo. Si dimostra inoltre che se $\{z_n\}$ è limitata allora si ha sempre $|z_k|\le 2 \;\forall k \in \mathbb{N}$. In particolare, tutto l’insieme di Mandelbrot è contenuto all’interno del cerchio $\mathcal{C}$ di raggio 2 centrato nell’origine, e l’elemento più distante dall’origine corrisponde a $c=-2$, che dà origine alla successione $\{0,-2,2,2,2\ldots\}$
La maggior parte dei programmi che visualizzano l’insieme di Mandelbrot suddivide il piano in tanti quadratini/pixel e per ogni punto di coordinate $c=x+iy$ calcola $z_k$ fino a un certo $k=N_{max}$: se la successione esce dal cerchio $\mathcal{C}$ per un certo $z_n$ allora il punto sicuramente non appartiene a $\mathcal{M}$ e al pixel viene attribuito un colore dipendente da $n$ (tutti i fantasmagorici colori che vedete nelle rappresentazioni di $\mathcal{M}$ sono relativi a punti non appartenenti all’insieme di Mandelbrot), altrimenti il punto viene attribuito a $\mathcal{M}$ (e il colore assegnato è in genere il nero). Maggiore è il dettaglio che si vuole avere di $\mathcal{M}$, maggiore dovrà essere $N_{max}$. Nella applet qui sotto potete trascinare il punto corrispondente al numero complesso $c$, verranno eseguite le iterazioni e mostrati i punti corrispondenti a $z_2$, $z_3$, eccetera fino a quando $z_k$ non esce dal cerchio $\mathcal{C}$ o $k$ raggiunge 200. Viene inoltre disegnato un segmento tra $z_1$ e $z_2$, $z_2$ e $z_3$ e così via. Il colore del punto corrispondente a $c$ viene assegnato a seconda che il punto venga stimato appartenente o no a $\mathcal{M}$. È interessante notare che se $c$ è ben dentro $\mathcal{M}$ la successione ${z_n}$ converge rapidamente o si stabilizza su più “filoni”, spostando $c$ verso il bordo dell’insieme il comportamento diventa sempre più caotico (e interessante).