Similmente a quanto fatto per la funzione seno, esaminiamo la funzione tangente come trasformazione del piano complesso.
Intanto cerchiamo di trovare un’espressione semplice della tangente complessa in cui si evidenzino parte reale e parte immaginaria: $$z=x+iy=f(w)=\tan(u+iv)=\frac{\sin(u+iv)}{\cos(u+iv)}=$$ $$=\frac{\sin u \cosh v+i\cos u\sinh v}{\cos u \cosh v+i\sin u\sinh v}=\ldots=\frac{\sin u \cos u + i \sinh v \cosh v}{\cos^2 u \cosh^2 v+ \sin^2 u \sinh^2 v}=\ldots$$ $$=\frac{\sin 2u + i \sinh 2v}{\cos 2u + \cosh 2v}$$
(i passaggi sono lasciati al lettore come esercizio 😉).
L’equazione della trasformazione in forma vettoriale è dunque: $$(x,y)=\frac{(\sin 2u , \sinh 2v)}{\cos 2u + \cosh 2v}.$$
Per la periodicità della funzione tangente, possiamo restringerci alla striscia di piano complesso con $\operatorname{Re}(w) \in [-\pi/2, \pi/2]$. Mettiamo tutto dentro geogebra e vediamo che accade: