Partiamo per la tangente?

Similmente a quanto fatto per la funzione seno, esaminiamo la funzione tangente come trasformazione del piano complesso. Intanto cerchiamo di trovare un’espressione semplice della tangente complessa in cui si evidenzino parte reale e parte immaginaria: $$z=x+iy=f(w)=\tan(u+iv)=\frac{\sin(u+iv)}{\cos(u+iv)}=$$ $$=\frac{\sin u \cosh v+i\cos u\sinh v}{\cos u \cosh v+i\sin u\sinh v}=\ldots=\frac{\sin u \cos u + i \sinh v \cosh v}{\cos^2 u \cosh^2 v+ \sin^2 u \sinh^2 v}=\ldots$$ $$=\frac{\sin 2u + i \sinh 2v}{\cos 2u + \cosh 2v}$$ (i passaggi sono lasciati al lettore come esercizio 😉).
L’equazione della trasformazione in forma vettoriale è dunque: $$(x,y)=\frac{(\sin 2u , \sinh 2v)}{\cos 2u + \cosh 2v}.$$ Per la periodicità della funzione tangente, possiamo restringerci alla striscia di piano complesso con $\operatorname{Re}(w) \in [-\pi/2, \pi/2]$. Mettiamo tutto dentro geogebra e vediamo che accade:

Complesse innocenti iterazioni

Parliamo dell’insieme matematico forse più famoso, sicuramente il più... graficato: l’insieme di Mandelbrot (che chiameremo $\mathcal{M}$). Siamo nel piano complesso, e consideriamo un punto di coordinate $c=x+iy$. Consideriamo la successione $\{z_n\}$ così definita: $z_0=0$ e $z_{k+1}={z_k}^2+c$ per $k>0$. Si ha che $c$ appartiene a $\mathcal{M}$ se e solo se la successione non diverge, ovvero è limitata in modulo. Si dimostra inoltre che se $\{z_n\}$ è limitata allora si ha sempre $|z_k|\le 2 \;\forall k \in \mathbb{N}$. In particolare, tutto l’insieme di Mandelbrot è contenuto all’interno del cerchio $\mathcal{C}$ di raggio 2 centrato nell’origine, e l’elemento più distante dall’origine corrisponde a $c=-2$, che dà origine alla successione $\{0,-2,2,2,2\ldots\}$