Potenze complesse

Ogni funzione analitica in $\mathbb{C}$ può essere considerata come trasformazione nel piano complesso.

Nell’applet qui sotto vengono visualizzati gli effetti della trasformazione z → z^α su alcune rette parallele agli assi coordinati. Per α = 1 naturalmente la trasformazione coincide con l’identità e si ritrovano le rette di partenza. Poiché la trasformazione indotta da una funzione analitica preserva gli angoli, gli angoli che si formano fra le due famiglie di curve sono sempre retti, come quelli di partenza. Per α pari a –1, 1/2 e 2 le curve sono coniche, ovvero rispettivamente circonferenze (tutte passanti per l’origine e in essa tangenti a uno degli assi), iperboli equilatere (tutte aventi per asintoti gli assi coordinati) e parabole (tutte con l’asse coincidente con l’asse x e il fuoco nell’origine). Come nota 3Blue1Brown in un suo video, se α vale 2, il grafico contiene in sé tutte le terne pitagoriche.