La complessa bellezza del seno

La funzione seno (e che avevate pensato?) la conosciamo tutti, no? In campo reale sicuramente, ma si sa che le funzioni danno il meglio di sé in campo complesso (anche se questo restringe un po’ le possibilità, ma restano davvero tante e non numerabili!) Un modo per visualizzare una funzione complessa è quello di vedere come si trasformano le rette verticali e orizzontali nel piano complesso, ovvero quelle che in $\mathbb{C}$ hanno equazione $\operatorname{Re}(z)=u$ e $\operatorname{Im}(z)=v$. È quello che si vede nella prima animazione qui sotto, dove al variare del parametro $\alpha$ da $0$ a $1$ si ha la trasformazione da $z$ a $\sin(z)$. Per le simmetrie della funzione $\sin(z)$, possiamo restringerci alla striscia di piano complesso con $\operatorname{Re}(z) \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Tadaaaa! Il risultato è un insieme di ellissi e iperboli dove ogni curva di una famiglia interseca perpendicolarmente le curve dell’altra famiglia (magia delle funzioni analitiche), e non solo: tutte le curve di entrambe le famiglie hanno i fuochi in $F_1(-1)$ e $F_2 (1)$.

Verifichiamo: ponendo $w=u+iv$ abbiamo $$x+iy=z=f(w)=\sin(u+iv)=\sin u \cosh v+i \cos u \sinh v\ ,$$per cui le equazioni della trasformazione sono: $$\left\{ \begin{array}{l} x=\sin u \cosh v \\ y=\cos u \sinh v \end{array} \right.\ .$$ Se teniamo $u$ costante facendo variare $v$, i punti soddisfano l’equazione $\dfrac{x^2}{\sin^2 u}-\dfrac{y^2}{\cos^2 u}=1$, che è quella di un’iperbole con parametri $a_I=|\!\sin u|$, $b_I=\cos u$ e $c_I= \sqrt{a_I^2+b_I^2}=1$; gli asintoti passano per l’origine ed hanno equazione $x \cos u \pm y \sin u=0$.

Se teniamo $v$ costante facendo variare $u$, i punti soddisfano l’equazione $\dfrac{x^2}{\cosh^2 v}+\dfrac{y^2}{\sinh^2 v}=1$, che è quella di un’ellisse con parametri $a_E=\cosh v$, $b_E=|\!\sinh v|$ e $c_E= \sqrt{a_E^2-b_E^2}=1$.

A essere pignoli, ad un singolo valore di $u$ corrisponde un ramo di iperbole e ad un singolo valore di $v$ una semiellisse.

Detto $P(x,y)$ un generico punto del piano, con qualche passaggio troviamo inoltre che si ha:

$$  PF_1=\sqrt{(x+1)^2+y^2}=\sqrt{(\sin u \cosh v+1)^2+(\cosh u \sin v)^2}=\ldots=\sin u+\cosh v\quad \textrm{e}\\  PF_2=\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(\sin u \cosh v-1)^2+(\cosh u \sin v)^2}=\ldots=-\sin u+\cosh v\ ,$$si ha quindi che $PF_1+PF_2=2\cosh v=2a_E$ e $PF_1-PF_2=2\sin u =\pm 2a_I$, come deve essere per le proprietà di luogo geometrico di ellisse e iperbole.

Infine, le stesse iperboli ed ellissi possono essere ottenute dalla funzione inversa del seno, ovvero come curve di livello e curve di massima pendenza di $\operatorname{Re}(\arcsin z)$ e  $\operatorname{Im}(\arcsin z)$.

Nelle due applet Geogebra che seguono avete la possibilità di ruotare i grafici tridimensionali.